[Zadatak]: Ciklična nejednakost

Odgovori Nova tema

3 odgovora
4.704 pregleda

[Zadatak]: Ciklična nejednakost 21.03.2005. u 16:35 · pre 263 meseca #1

Evo jedne lepe nejednakosti, pa ko hoće neka pokuša da je reši.

Ako za nenegativne brojeve važi $a^2+b^2+c^2=3$ , dokazati da važi $\frac a {b+2}+\frac b {c+2}+\frac c {a+2}\leq1$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Zadatak]: Ciklična nejednakost 07.06.2005. u 21:47 · pre 261 mesec #2

Posto tema vec dugo vremena nema odgovora (a meni nikako ne uspeva da nadjem resenje), da li bi ti Bojane mogao da das resenje?

Re: [Zadatak]: Ciklična nejednakost 07.06.2005. u 22:42 · pre 261 mesec #3

Nema problema, ja sam mislio da niko nije zapazio nejednakost pa zbog toga nisam žurio sa rešenjem (ko zna, možda neko nekad pregleda forum pa mu zapadne za oko ova tema bez odgovora :), ali evo kad te interesuje:

Prvi korak nije naročito elegantan, izmnožimo sve i pokratimo pa dobijemo da je data nejednakost ekvivalentna sa
$2+abc\geq ab^2+bc^2+ca^2$
Pretpostavimo da je $b$ "srednja" od ove tri promenljive (odnosno da je $a\geq b\geq c$ ili $c\geq b\geq a$ ). Onda je očigledno $a(b-c)(b-a)\leq 0$ , što je ekvivalentno sa $a^2b+abc\geq ab^2+ca^2$ . Dakle, dovoljno je dokazati $2+abc\geq bc^2+a^2b+abc$ , odnosno $2\geq b(a^2+c^2)$ tj. $2\geq b(3-b^2)$ . Međutim, poslednja nejednakost je ekvivalentna sa $(b-1)^2(b+2)\geq 0$ , što je očigledno tačno.

Zanimljiv je slučaj kad važi jednakost. Za početak, iz poslednje relacije očigledno sledi $b=1$ . Međutim, $a(b-c)(b-a)=0$ važi u dva slučaja, tako da imamo dva slučaja kada važi jednakost (ne računajući permutacije):
1) $a=b$ , odnosno $(a,b,c)=(1,1,1)$ ;
2) $a=0$ , odnosno $(a,b,c)=(0,1,\sqrt 2)$ .

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: [Zadatak]: Ciklična nejednakost 08.06.2005. u 15:54 · pre 260 meseci #4

Lepo resenje.
U medjuvremenu, nasao sam jos dva resenja na jednom sajtu :), ali je ovo mnogo elegantnije.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme