[es] - Geometrijski zadaci i trigonometrija

jans

Član broj: 218504
Poruke: 55
*.dynamic.a1.rs.

+2 Profil

Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{09.05.2025. u 00:08 - pre 10 dana i 15h}

Napisao sam, u prethodnim temama sa uglovima („Još jedan zadatak sa uglovima“ i „Treći zadatak sa uglovima“ ), da mi nije poznato da li je moguće te zadatke rešiti pomoću Euklidske geometrije. A Miki je u jednoj od poruka napisao:

Citat:

Nedeljko jasno je da važi stav:
Ako je zadatak rešiv Euklidskom geometrijom sigurno je rešiv i trigonometrijom.
Nisam siguran da važi i obrnuto.

Pošto mislim da rasprava vezana za ovo pitanje nije završena, otvaram posebnu temu.
Razlog je i činjenica da „rešavanje zadatka Euklidskom geometrijom“, verovatno različito tumačimo. Zbog toga ću preformulisati pitanje.
Geometrijski zadatak u kojem figurišu uglovi možemo rešavati na dva načina:
1.) U postupku rešavanja koristimo trigonometrijske funkcije;
2.) U postupku rešavanja ne koristimo trigonometrijske funkcije.

Jasno je da svaki zadatak sa uglovima, ako je rešiv, možemo rešiti na 1. način.
Pitanje je da li takav zadatak možemo rešiti na 2. način.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8711
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2802 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{09.05.2025. u 10:16 - pre 10 dana i 5h}

1 je svodljivo na 2 jer su trrigonometrijske funkcije samo geometrijske definicije koje se opravdavaju geometrijskim teoremama i osobine trigonometrijskih funkcija su geometrijske teoreme.

Uvek se možemo praviti blesavi i ne zvati trigonmetrijske funkcije njihovim imenima, nego njihove definicije i osobine provlačiti kroz geometrijski dokaz.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

jans

Član broj: 218504
Poruke: 55
*.dynamic.a1.rs.

+2 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{11.05.2025. u 17:20 - pre 7 dana i 22h}

Nedeljko je napisao:
„... Uvek se možemo praviti blesavi i ne zvati trigonmetrijske funkcije njihovim imenima, nego njihove definicije i osobine provlačiti kroz geometrijski dokaz.“

Neki bi rekli, nije šija nego vrat.
Drugim rečima, neki geometrijski zadaci u kojima figurišu uglovi, primenom 2. načina ne mogu da se reše.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8711
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2802 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{12.05.2025. u 05:05 - pre 7 dana i 10h}

Imaš li ti logičku formulaciju pravila igre? Šta je dozvoljeno, a šta ne?

Trigonometrijske funkcije su primena stavova o siičnosti i podudarnosti.

Transformišeš dokaz trigonometrijskim funkcijama u dokaz pomoću sličnosi i podudarnosti.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

jans

Član broj: 218504
Poruke: 55
77.243.27.*

+2 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{12.05.2025. u 23:54 - pre 6 dana i 16h}

U prvoj poruci u ovoj temi, u opisu 2. načina rešavanja geometrijskih zadataka nisam bio dovoljno precizan. Izostavio sam deo za koji sam smatrao da se podrazumeva. Izvinjavam se zbog toga.
Jasno mi je, o tome si i ranije pisao, da dokaz pomoću trigonometrijskih funkcija može da se transformiše u dokaz pomoću sličnosti i podudarnosti. To znači da zadatak najpre rešimo pomoću trigonometrije a onda to rešenje transformišemo. U transformisanom rešenju ( formalno ) nema trigonometrije, a možda se i ne vidi da je trigonometrija korišćena. Međutim, iako u transformisanom rešenju nema trigonometrije, da bi do tog rešenja došli, koristili smo trigonometriju. To je činjenica koju nisam eksplicitno iskazao u opisu 2. načina rešavanja geometrijskih zadataka, i na to sam mislio kada sam u drugoj poruci napisao „neki geometrijski zadaci u kojima figurišu uglovi, primenom 2. načina ne mogu da se reše“.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8711
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2802 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{13.05.2025. u 07:19 - pre 6 dana i 8h}

Ako rešenje tako transformišemo, onda smo do njega zaista došli korišćenjem trigonometrije. Izgleda da si dobar matematičar.

Međutim, na osnovu čega tvrdiš da ako je rešenje pomoću sličnosti i podudarnosti formalno moguće, da se do njega ne može doći na drugi način, bez trigonometrije? Takav dokaz svejedno "miriše" na trigonometriju, pa ako bi neko došao na ideje preko kojih se dolazi do trigonometrije, mogao bi da ga reši. Ako je moguć takav dokaz, zašto ne bi bio moguć oi drugačiji koji ne "miriše" na trigonometriju?

Ovakvi stavovi se dokazuju upravo svođenjem jedne vrste dokaza na druge vrste. Ako je dokaz neke vrste formalno moguć, ko može da tvrdi da se do toga nije moglo doći bez transformisanja neke druge vrste dokaza?

Ja ovde insistiram na razumevanju veze između različitih delova matematike. Postoji razlog zašto je funkcija jednaka [tex]\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[⁄tex] primenljiva u geometriji. To je suštinski razlog zašto je ta primena korektna i naravno da ima formalno opravdanje.

P. S. Ne znam zašto TeX ne radi.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8711
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2802 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{13.05.2025. u 07:51 - pre 6 dana i 8h}

Da bi se formalno ispitalo da li je uvek moguć dokaz koje ne "miriše" na trigonometriju, potrebna je formalizacija, kao što intuicionistička formalizacija matematike daje odgovore na pitanja šta je nemoguće rešiti konstruktivno. Postoje i druge takve formaliyacije. Ovde bi bila potrebna neka koja iybegava ideje koje vode to trigonometrije, odnosno u kojoj trigonometrija nije moguća.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2056
77.46.139.*

+400 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{14.05.2025. u 07:14 - pre 5 dana i 8h}

U zadatku koji je povod za ovu temu nije tražena konstrukcija ugla od 5⁰, već samo da se otkrije/dokaže da je 5⁰.
Ugao od 15⁰ se može konstruisati.
Ugao od 5⁰ se ne može konstruisati.
U trigonometrijskom rešenju je korišćen tangens trostrukog ugla to jest tg(15⁰) = tg(3*5⁰) = ...
Da se tu ne krije problem rešavanja ovog zadatka euklidskom geometrijom?

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8711
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2802 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{14.05.2025. u 14:48 - pre 5 dana i 1h}

Ne krije se nigde. I ta formula je posledica stavova o sličnosti i podudarnosti.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

jans

Član broj: 218504
Poruke: 55
*.dynamic.a1.rs.

+2 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{15.05.2025. u 23:51 - pre 3 dana i 16h}

Citat:

Nedeljko:
Međutim, na osnovu čega tvrdiš da ako je rešenje pomoću sličnosti i podudarnosti formalno moguće, da se do njega ne može doći na drugi način, bez trigonometrije?

Ne mogu to da tvrdim zato što nemam dokaz. To je samo hipoteza. Trebalo bi, u drugoj poruci na kraju rečenice „Drugim rečima, neki geometrijski zadaci u kojima figurišu uglovi, primenom 2. načina ne mogu da se reše.“, umesto tačke staviti znak pitanja.
I još nešto. Čini mi se da je potrebna još jedna napomena.
Kada sam u navedenim temama postavio pitanje rešivosti tih zadataka pomoću Euklidske geometrije ( naravno bez trigonometrije, pošto je rečeno da se zadaci mogu rešiti pomoću trigonometrijskih funkcija ), mislio sam na geometriju koja se izučava u srednjoj školi. ( Mislim da je to i Miki tako shvatio. Zaključio sam to iz njegovih poruka. )

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8711
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2802 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{16.05.2025. u 01:27 - pre 3 dana i 14h}

Pa, u sednjoj školi se uče stavovi o sličnosti i podudarnosti. Sve što je rešivo trigonometrijom je svodljivo na njih.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

jans

Član broj: 218504
Poruke: 55
*.dynamic.a1.rs.

+2 Profil

Re: Geometrijski zadaci i trigonometrija

^{18.05.2025. u 23:57 - pre 16h}

Citat:

Nedeljko: Pa, u sednjoj školi se uče stavovi o sličnosti i podudarnosti. Sve što je rešivo trigonometrijom je svodljivo na njih.

Nije mi jasno kako to primeniti u zadacima.
Navešću jednostavan zadatak:
"Date su dve stranice trougla b=5 i c=6, i ugao

. Odrediti ugao beta."
Zadatak se lako rešava pomoću sinusne teoreme. Rešenje je

.
Međutim, nemam predstavu kako bi ovaj zadatak mogao da se reši pomoću Euklidske geometrije, odnosno geometrije koju smo učili u srednjoj školi, a da ne koristimo trigonometriju.

Odgovor na temu