Još jedan zadatak sa uglovima

Meni bilo zanimljivo ovo pomeranje tački, pa sam pošao od pozicije gde je ugao BED poznat i iznosi 25 stepeni, i kad se tačka E pomera po liniji AC do pozicije E' ponaša se po nekom pravilu:



Dakle ako tačka E promeni poziciju i postane E' ugao ABS se poveća na ABS' za neki nepoznat iznos alfa. Jasno za koliko se ABS' povećao za toliko mora da se smanji njemu spoljni SBC to jest za minus alfa. Slično u trouglu AS'B zbir uglova mora ostati konstantan, a kako je ugao S'AB ostao nepromenjen, ako se ABS povećao za alfa i postao ABS', za toliko se umanji treći ugao trougla tj ugao AS'B će biti za minus alfa manji od originalnog ASB. Sve isto u trouglu ABE to jest ABE', ugao AE'B ća za minus alfa biti manji u odnosu na originalni AEB.

Uglovi AS'B i DS'E' su unakrsni i jednaki, pa će DS'E' da se umanji za iznos alfa, njima dodatni uglovi do punog ugla BS'D i E'S'A unakrsni i jednaki će se povećati za iznos alfa. I sve ovo do sad je manje više jasno, i da ne kažem logično. Sledi deo koji meni nije jasan ...

U trouglu ESD kad postane E'SD ugao kod S' se umanjio za iznos alfa, pa bi preostala dva ugla u trouglu E'S'D morali to da nadoknade da bi zbir sva tri ugla u trouglu bio 180. Iz nekog razloga to se dešava po pravilu da se S'E'D (ili BE'D koji se traži u zadatku) umanjuje za alfa pola, a preostali ugao trougla E'DS' povećava za 3 alfa polovine? Kad se E'DS' poveća za 3 alfa polovine, njemu spoljni E'DC se smanji za isti iznos, kako zbir uglova i u trouglu E'DC mora ostati konstantan, DE'C se poveća za 3 alfa polovina.

Moje pitanje je zašto baš ovi iznosi alfa pola, i 3 alfa pola? Proverio sam na par drugih primera i za njih ne važi takvo pravilo. U stvari ne važi ni u ovoj konstrukciji uvek, deluje da su 25 i 65 za duž BE granični uglovi za koje ovo pravilo važi?

Kad bih ovako polazeći od poznatog ugla pokušao da otkrijem koliko je BED računica se slaže, od 25 do 65 dodato je alfa = 40 stepeni, ugao BED je jednako početni minus alfa pola, sledi 25 - 20 = 5 stepeni ..

Da li si siguran?
Primenom definicija trigonometrijskih funkcija oštrog ugla u pravouglom trouglu, slično kao u tvom prethodnom rešenju, dobijamo da je .

Verovatno je problem granica greške. U navedenom postupku izračunavanja se vrše pomoću približnih vrednosti koje su zaokružene na četiri decimalne cifre. Taj postupak ima mnogo koraka u kojima se računa sa približnim vrednostima, a verovatno se u svakom od tih koraka granica greške poveća. Trebalo bi u računanju koristiti „preciznije“ vrednosti,odnosno računati sa više decimalnih cifara ( kalkulator koji koristim, vrednosti trigonometrijskih funkcija računa sa devet decimalnih cifara ).


A sada još malo o zadatku. Zadatak možemo rešiti u opštijem obliku.
Neka je , a ( pošto su duži AD i BE normalne ). Presek duži AD i BE obeležimo sa F. Pošto su trouglovi određeni sa dužima AD i BE, i njihovim krajnjim tačkama, pravougli, a uglovi na osnovici jednakokrakog trougla, sa merom 80^o, jednostavno možemo izraziti pomoću ugla , na slici istaknute uglove.

Pošto u navedenim pravouglim trouglovima primenimo definicije trigonometrijskih funkcija dobijamo naredne jednakosti

Množenjem ovih jednakosti dobijamo



Koristeći ovu formulu možemo odrediti za koje celobrojne vrednosti ugla , i ugao ima celobrojnu vrednost.
Ako je , biće
Ako je , biće

Odavno ne čuh bolji vic, no šta da radim, ako najbrže crtam da zasučem rukave .. :) samo moram da te upozorim da su moji crteži skice, uglovi su dobri, nekad i veličine kružnica, ali tačke odakle kreću liniju često nisu, pa je crtež samo zbir nagađanja, kao što reče jans vredi koristiti geogebru, ali u njoj onda treba znati i raditi .. no šta je tu je, crtež je tu, ako je pitanje bilo da li kružnica prolazi kroz one tačke odgovor je - verovatno .. ali treba i dokazati nekako jelte .. edit: još ćeš mi reći da se GE i DF seku pod uglom od 20 stepeni? :) ..

Nema na čemu, ali ako čitaš sa slike nije dobro, ako prvo povučeš normale, moraš da dokažeš da kružnica prolazi baš kroz G i H. Ako prvo nacrtaš kružnicu koja u nekim tačkama preseca AC i BC, onda moraš da dokažeš da se normale spuštaju baš u te tačke ...

Što će reći evo drugi crtež, kružnica je (kao) prošla kroz E,D,S ali nije kroz G i H ...

Ma nije mi promaklo, nego se svaki čas predomišljam šta jeste, šta nije, a ovaj put jeste, mislim da si u pravu, i takođe ne znam kako dalje do ugla BED ,,

Još jednom napominjem da mi nije poznato da li može zadatak da se reši pomoću Euklidske geometrije.
Ako neko zna odgovor, bilo bi korisno za posetioce foruma koji žele, odnosno pokušavaju da reše zadatak, da to napiše u poruci ( ako je odgovor potvrdan, nije neophodno da napiše to rešenje ).

Kako ne može? A šta je ovo

https://www.elitesecurity.org/t510801-1#4092355

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Pa, takve teoreme omogućavaju da se svako reššenje zadatka trigonometrijom transformiše u rešenje euklidskom geometrijom, jer trigonometrija proističe iz euklidske geometrije.

Dakle, sve što je rešivo trigonometrijom je rešivo euklidskom geometrijom. Druga je stvar što je takvo dobijeno rešenje euklidskom geometrijom duže i složenije od rešenja trigonometrijom.

Prema tome, pitanje da li je rešivo euklidskom geometrijom ima trivijalan potvrdan odgovor.

Druga je stvar da li postoji i neko kraće i elegantnije rešenje euklidskom geometrijom. Ako je odgvor negativan, onda je to primer koji opravdava postojanje trigonometrije jer olakšava rešavanje nekih zadataka.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

U ovom primeru određivanje nepoznatog ugla nije moguće svesti samo na primenu osobina mnogougla ( zbir unutrašnjih uglova, ... ). Rešavanje zadatka pomoću Euklidske geometrije podrazumeva da treba da dokažemo da je taj ugao ( ili ugao koji u sebi sadrži nepoznati ugao ), jednak uglu sa poznatom merom ( uglu koji smo na neki način uočili, ili smo ga "konstruisali" ). Tu jednakost dokazujemo pomoću podudarnih ili sličnih trouglova, ili koristeći uglove sa paralelnim ( ili sa normalnim ) kracima. Jednakost uglova ( i duži ) ne dokazujemo konstrukcijom. Nije bitno da li je moguće konstruisati neki ugao, odnosno kako je taj ugao konstruisan. ( I u zadatku imamo uglove koje, pomoću lenjira i šestara, nije moguće konstruisati. )

Pa, to obrnuto je trivijalno jer je trigonometrija specijalan slučaj euklidske geometrije.

Postoji opšti algoritam za sve planimetrijske zadatke sa dokazivanjem da je neki ugao jednak nečemu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Gde mogu pronaći navedeni algoritam?