Još jedan zadatak sa uglovima

Taj algoritam nije za ljude, nego za mašine.

Hint: Polinom deobe kruga $\Phi_n$ na $n$ delova je nesvodljiv nad $Q$ . Preko njega se lako nalazi minimalni polinom za $2\cos(2\pi/n)$ .

Naime, za $n\geq 3$ je stepen polinoma $\Phi_n$ paran broj $\varphi(n)=2m$ . Lako se nalazi polinom $c_n$ takav da je $c_n(x+1/x)=x^{-m}\Phi_n(x)$ .

Za $a=e^{i2\pi/n}$ važi $c_n(2\cos(2\pi/n))=c_n(a+1/a)=a^{-m}\Phi_n(a)=0$ . Polinom $c_n$ je polinom sa racionalnim (čak celim) koeficijentima stepena $m$ . Dokažimo da je nesvodljiv nad $Q$ .

U suprotnom bi stepen broja $2\cos(2\pi/n)$ nad poljem racionalnih brojeva bio $d<m. Broj 2i\sin(2\pi/n)$ je koren polinoma $x^2-(2\cos(2\pi/n))^2+4$ , pa je nad poljem $Q[2\cos(2\pi/n)]$ stepena najviše $2$ , pa polje $Q[2\cos(2\pi/n),2i\sin(2\pi/n)]$ koje sadrži $a$ predstavlja raširenje polja racionalnih brojeva stepena ne većeg od $2d<2m$ , što je nemoguće jer je zbog nesvodljivosti polinoma $\Phi_n$ nad poljem racionalnih brojeva stepen broja $a$ nad poljem racionalnih brojeva jednak $2m$ .

To nam omogućava računanje u polju $Q[2\cos(2\pi/n)]$ . Pod tim podrazumevam operacije u polju nad brojevima izraženim u vidu linearnih kombinacija sa racionalnim stepenima brojeva $(2\cos(2\pi/n))^k$ za $0\leq k<m$ . Zbir, razliku, proizvod i količnik brojeva u toj reprezentaciji možemo izračunati u istoj toj reprezentaciji. Zbog nesvodjivosti polinoma $c_n$ , nula se može predstaviti na tačno jedan način, pa je na taj način dokaziv svaki tačan identitet u tom polju.

Ako su svi uglovi na slici racionalni umnošci punog kruga, možemo izabrati $n$ tako da ugao $2\pi/n$ bude najveći zajednički delilac uglova sa slike i pravog ugla. Tada je $\cos(2k\pi/n)$ izrazivo kao polinom (sa racionalnim, pa i celim koeficijentima) po $\cos(2\pi/n)$ . Takođe je $\sin(2k\pi/n)=\cos(\pi/2-2k\pi/n)=\cos(2s\pi/n)$ za neko $s\in Z$ .

Onda račinamo koordinate tačaka sa slike u tom polju. Ako kraci nekog ugla imaju koeficijente pravaca $k_1$ i $k_2$ , gde je $k_1<k_2$ , onda je prema formuli za razliku tangensa tangens tog ugla jednak $\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Citat:

djoka_l:
E onaj zadatak je namučio DeepSeek.
Tvrdio je da je ugao 90, pa onda 30, na kraju je došao o toga da je ugao 4.4 stepena.
$To resolve the discrepancy, let's re-examine the problem with precise calculations:\newline \newline **Given**:\newline - $ \triangle ABC $ is isosceles with $ AC = BC $ and $ \angle C = 20^\circ $.\newline - $ \angle BAD = 25^\circ $, $ \angle ABE = 65^\circ $.\newline - Points $ D $ on $ BC $ and $ E $ on $ AC $.\newline \newline **Steps**:\newline 1. **Base Angles**:\newline - $ \angle A = \angle B = 80^\circ $ (since $ \angle C = 20^\circ $).\newline \newline 2. **Coordinate Geometry**:\newline - Place $ C $ at the origin $(0,0)$, $ A $ at $(\cos10^\circ, \sin10^\circ)$, and $ B $ at $(\cos10^\circ, -\sin10^\circ)$.\newline - Determine coordinates for $ D $ and $ E $ using trigonometric relationships.\newline \newline 3. **Key Calculations**:\newline - For $ D $ on $ BC $, solving for $ t $ gives $ t \approx 0.846 $, leading to $ D \approx (0.833, -0.147) $.\newline - For $ E $ on $ AC $, solving for $ s $ gives $ s \approx 0.451 $, leading to $ E \approx (0.444, 0.0783) $.\newline \newline 4. **Vectors and Angle**:\newline - Vectors $ \vec{EB} $ and $ \vec{ED} $ yield:\newline \[ \cos\theta \approx 0.997 \implies \theta \approx \arccos(0.997) \approx 4.4^\circ \] \newline **Conclusion**:\newline The measure of $ \angle BED $ is approximately $ \boxed{5^\circ} $. The earlier assertion of $ 30^\circ $ was incorrect due to misapplied geometric assumptions. The coordinate method confirms the angle is small, aligning with your measurement.$

Kako je "limenko" ovoliko pogrešio?

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme