potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 19.05.2014. u 15:28 · pre 151 mesec #61

Da, treba da stoji $\ge$ . Resicu prvi problem, jer nisam neki veliki ljubitelj euklidske geometrije. Dakle, zelimo da pokazemo da je $\frac {a}{b+2c}+\frac {b}{c+2a}+\frac {c}{a+2b} \ge 1$ . Naime, vazi $\frac {a}{b+2c}+\frac {b}{c+2a}+\frac {c}{a+2b}=\frac {a^2}{ab+2ac}+\frac {b^2}{bc+2ab}+\frac {c^2}{ac+2bc}\ge \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)}$ . Ova nejednakost sledi iz nejednakosti $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots + \frac{a_n^2}{b_n} \ge \frac {(a_1+a_2+\dots + a_n)^2}{b_1+b_2+\dots+b_n}$ za realne brojeve $a_1,a_2,\dots,a_n$ i $b_1,b_2,\dots,b_n >0$ , koja se moze pokazati indukcijom. Na kraju $\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ac)} \ge 1$ sledi iz $a^2 + b^2 + c^2-ab-ac-ca = \frac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2))\ge 0$ .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 19.05.2014. u 22:41 · pre 151 mesec #62

Hvala Sonec.

Zaglavio sam se u dokazu ove nejednakosti indukcijom.
Onda sam ukapirao da je ona specijalan slučaj nejednakosti Koši-Švarc-Bunjakovskog, a ona se elegantno dokazuje bez indukcije.

Drugi je mnogo lakši.

Ko se zaglavi sa nejednakostima, može da baci pogled na ovaj Master rad:
http://www.dmi.uns.ac.rs/site/...r/matematika/BiljanaPavkov.pdf

Meni je pomogao.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 20.05.2014. u 11:33 · pre 151 mesec #63

Zapravo, ja sam znao da je ovo posledica Kosi-Svarc nejednakosti, al sam video da moze da se istera indukcijom pa nisam hteo da koristim neke fensi nejednakosti (mada je nejednakost Kosi-Svarca prilicno elementarna ako neko hoce da resava ovakve probleme).

Indukcija je ovde prilicno jednostavna, al moze se zakomplikovati ako neko krene da zaista sabira clanove posle pozivanja na induktivnu hipotezu. Tvrdjenje lako sledi za $n=1$ i $n=2$ . Pretpostavimo da nejednakost vazi za sve zbirove sa $n$ ili manje clanova (gde je $n \ge 2$ ), i pokazimo da vazi za $n+1$ . Tada vazi

$\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}+\frac{a_{n+1}^2}{b_{n+1}} \ge \frac{(a_1+a_2+\dots+a_n)^2}{b_1+b_2+\dots+b_n}+\frac{a_{n+1}^2}{b_{n+1}}$ . Problem nastaje ako neko krene da sabira ova dva razlomka. Ali, nema potrebe za tim, dovoljno je na ovom mestu primeniti slucaj $n=2$ (tacnije, ovo bas nije najkorektnije, trebalo bi uvesti drugu promenljivu, al smatram da je jasno sta se radi) i dobijamo $\frac{(a_1+a_2+\dots+a_n)^2}{b_1+b_2+\dots+b_n}+\frac{a_{n+1}^2}{b_{n+1}}\ge \frac{(a_1+a_2+\dots+a_n+a_{n+1})^2}{b_1+b_2+\dots+b_n+b_{n+1}}$ .

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: potreban dokaz nejednakosti sa realnim brojevima 20.05.2014. u 12:38 · pre 151 mesec #64

Ja sam sabirao razlomke i bilo je bez izgleda.
Koristio sam i za n=2, ali za levu stranu nejednakosti i opet je bez izgleda.
Sad je sve jasno.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme