Pokazati da je harmonijska...

Da resimo i ovaj problem. Umesto $u'$ koristicu, nekako prirodnu, oznaku $v$ . Dakle, zelimo da pokazemo da je funkcija $v(x)=u(Ax)=u(y)$ harmonijska, odnosno $\Delta v=0$ gde je $\Delta=\sum_{k=1}^{d} \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}, \, \, x=(x_1,\ldots, x_d)$ Laplasov operator. Neka je $\input amstex A=\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1d} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{d1} & \cdots & a_{dd}\end{pmatrix}$ .

Tada je $\input {amstex} y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=1}^{d}a_{1k}x_k\\\vdots\\\sum\limits_{k=1}^{d}a_{dk}x_k\end{pmatrix},$ odnosno $y_i = \sum_{k=1}^{d} a_{ik} x_k$ . Zato je $\frac{\partial v}{\partial x_i}=\sum_{k=1}^{d}\frac{\partial u}{\partial y_k}a_{ik}$ (ovde smo koristili popularno chain rule pravilo za parcijalni izvod), odnosno $\frac{\partial^2 v}{\partial x_i\partial x_j}=\sum_{k=1}^{d}\sum_{m=1}^{d}\frac{\partial ^2u}{\partial y_k\partial y_m} a_{ki} a_{mj}$ . Odatle dobijamo (na ovom mestu koristimo da je matrica $A$ ortogonalna, tj. $AA^T=E$ , zapisite taj uslov i videcete) $\frac{\partial^2 v}{\partial x_i^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial y_i^2}$ , pa je, gle cuda, $\Delta v = \Delta u = 0$ , tj. i $v$ je harmonijska funkcija.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Srodne teme