Pokazati da je harmonijska...

Pozdrav...

Radim jedan zadataka iz harmonijskih funkcija, pa mi je potrebna pomoc...

Neka je u harmonijska funkcija.
Neka je A ortogonalna matrica...
Pokazati da je u'(x)=u(Ax) takodje harmonijska(x

Hvala vam na svakoj pomoci...

Da resimo i ovaj problem. Umesto koristicu, nekako prirodnu, oznaku . Dakle, zelimo da pokazemo da je funkcija harmonijska, odnosno gde je Laplasov operator. Neka je [tex]\input amstex A=\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1d} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{d1} & \cdots & a_{dd}\end{pmatrix}[/tex].

Tada je [tex]\input {amstex} y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=1}^{d}a_{1k}x_k\\\vdots\\\sum\limits_{k=1}^{d}a_{dk}x_k\end{pmatrix},[/tex] odnosno . Zato je (ovde smo koristili popularno chain rule pravilo za parcijalni izvod), odnosno . Odatle dobijamo (na ovom mestu koristimo da je matrica ortogonalna, tj. , zapisite taj uslov i videcete) , pa je, gle cuda, , tj. i je harmonijska funkcija.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.