Ciklicni sistem jednacina

Re: Ciklicni sistem jednacina 16.12.2012. u 03:25 · pre 169 meseci #21

Tako kako si postavila zadatak tvrđenje nije tačno. Za $a=2$ , $b=0$ i $c=-1$ jedno od rešenja je

$x=\cos(8\pi/7)=-\cos(\pi/7)$ , $y=\cos(4\pi/7)$ , $z=\cos(2\pi/7)$ .

Korišćenjem jednakosti $2\cos^2(t)-1=\cos(2t)$ lako je proveriti da je to zaista rešenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 16.12.2012. u 09:09 · pre 169 meseci #22

Hm...

Zapravo, zadatak je bio dokazati da dati sistem nema realnih rešenja ako cu a,b,c brojevi takvi da je $(b-1)^2-4ac<0$ .
Ako je x=y=z, tada se ova pretpostavka lako primenjuje, jer imamo kvadratnu jednačinu čija je diskriminanta po pretpostavci negativna. Ostaje da se pokaže da je zaista x=y=z jediina mogućnost.
Ako imaš bolju ideju....

Re: Ciklicni sistem jednacina 16.12.2012. u 12:46 · pre 169 meseci #23

Kako misliš da li imam ideju da dokažem nešto što nije tačno? Trebala si da postaviš zadatak onako kako glasi. Ovakva postavka jednostavno nije tačna.

Ako je $4ac>(b-1)^2$ , onda je svakako $ac>0$ , pa samim tim i $a\neq 0$ . Stoga svaku od jednačina možemo pomnožiti sa $a$ i dodati obema stranama $b/2$ . Uz smenu $u=ax+b/2$ , $v=ay+b/2$ i $w=az+b/2$ i uz oznaku $t=b/2-b^2/4+ac$ sistem postaje

$v^2+t=u$ ,
$w^2+t=v$ ,
$u^2+t=w$ .

Obzirom da je $t=(4ac-(b-1)^2+1)/4$ , važi $t>1/4$ . Naime, odatle sledi da je $u,v,w\geq 0$ , a pošto je $\alpha\mapsto\alpha^2+t$ rastuća funkcija na $[0,+\infty)$ iz $u<v$ sledi $w<u$ , a odatle $v<w$ , a $v<w<u<v$ neće da može. Takođe, iz $u>v$ sledi $w>u$ , a odatle $v>w$ , a $v>w>u>v$ opet neće da može. Ostaje da je $u=v$ , a otuda i $w=u$ . Međutim, onda je $u=v=w=\alpha$ za $\alpha$ za koje je $\alpha^2-\alpha+t=0$ , odnosno $(\alpha-1/2)^2=1/4-t$ , što nije moguće za $t>1/4$ jer je leva strana nenegativna, a desna negativna.

Dakle, uz uslov $4ac>(b-1)^2$ je lako. Međutim, taj uslov nisi pominjala. Ovo je sasvim drugi zadatak.

Edit: Ispravka greške.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 09.05.2013. u 18:41 · pre 164 meseca #24

y+1=(x+1)(3-x)
z+1=(y+1)(3-y)
x+1=(z+1)(3-z)
Treba rešiti dati sistem u skupu R.

Ja primećujem da je y=f(x), z=f(y), x=f(z), (što ne umem dalje da iskoristim) gde je f kvadratna f-ja. Dalje, primećujem da su rešenja (2,2,2) i (-1,-1,-1). Ne znam kako ide formalno rešenje, pa mi treba pomoć.
Isto bi mi dobro došla i literatura sa ovim cikličnim sistemima jer ih profesor stalno daje, a neće da kaže odakle da uvežbamo. Obično rešenje ide u smeru dokazivanja da je x=y=z. Meni bi značili neki primeri iz kojih mogu da pohvatam bar neke ideje kako se to pokazuje.

Re: Ciklicni sistem jednacina 09.05.2013. u 21:05 · pre 164 meseca #25

Za $f(t)=(t+1)(3-t)-1=2t-t^2+2$ je $x=f(y)=f(f(z))=f(f(f(x)))$ . Dakle, $f(f(f(x)))-x=0$ . Faktorizacijom ove jednačine dobijamo da je

$(x-2)(x+1)(x^3-4x^2+3x+1)(x^3-3x^2+1)=0$ .

Dakle, $x$ može biti $2$ ili $-1$ ili koren jednog od navedena dva kubna polinoma. Ako je $x=2$ ili $x=-1$ , onda je svakako $x=y=z$ .

Sa druge strane, ako je $x^3-4x^2+3x+1=0$ , onda su i $y$ i $z$ koreni istog tog polinoma i to međusobno različiti, jer kada bi na primer bilo $x=z$ , onda bi zbog $z=f(x)$ ta vrednost bila nepokretna tačka funkcije $f$ , a to su samo $2$ i $-1$ , što nisu koreni tog polinoma trećeg stepena.

Isto važi i u slučaju $x^3-3x^2+3=0$ važi analogno.

Dakle, ili je $x=y=z\in\{-1,2\}$ ili su $x,y,z$ koreni istog od navedena dva kubna polinoma, ne u bilo kojoj permutaciji, nego u tri od šest mogućih permutacija, odnosno, ne mora biti $x=y=z$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

1

Re: Ciklicni sistem jednacina 09.05.2013. u 21:23 · pre 164 meseca #26

Hvala.
A jel možeš malo da pojasniš kako doći do pomenute faktorizacije?

Re: Ciklicni sistem jednacina 10.05.2013. u 18:31 · pre 164 meseca #27

Obzirom da se u polinomu kao koreni moraju pojaviti sve vrednosti koje mogu učestvovati u rešenju, on mora biti deljiv sa [tex[(x+1)(x-2)[/tex], pa ga deli s tim koliko god je moguće, a moguće je jednom (jer -1 i 2 su jednostruke nule tog polinoma).

Ostaće ti polinom šestog stepena. Pomnoži ga sa -1 sa bi bio moničan. Možeš da pokušaš da ga faktorizuješ kao proizvod polinoma drugog i četvrtog stepena, pa kada se pokaže da ta faktorizacija ne postoji, onda kao proizvod dva kubna polinoma. Obzirom da je polinom moničan, možeš se ograničiti na slučaj da su činioci monični. Obzirom da je slobodni član jednak 1, imaš dva slučaja - da su slobodni članovi činioca jednaki 1 i da su jednaki -1. E, onda sve rešavaš metodom neodređenih koeficijenata. Staviš da su ostali koeficijenti činioca neodređeni, pa pomnožiš činioce, pa proizvod izjednačiš sa datim polinomom. Dobićeš sistem jednačina po neodređenim koeficijentima. On će odmah moći da se uprosti korišćenjem dve linearne jednačine kojima se red sistema snižava sa dva.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme