Ciklicni sistem jednacina

Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 02:19 · pre 175 meseci #1

Zdravo.

Kako da resim sistem:

$y=x(4-x)\\ z=y(4-y)\\ x=z(4-z)$

?

Nemam ideju koju smenu da uvedem.

Ako stavim f(t)=t(4-t) onda je y=f(x) , z=f(y) i x=f(z) , pa onda kad pokusavam sa slaganjem ovih funkcija to ne odvede nikuda.

Citat:

Dodatni razlog brisanja koji je moderator naveo:
Moras pokazati da si se i sam potrudio tako sto ces napisati dokle si stigao i gde si tacno zapeo.

Hvala na razumevanju.

Moderator elitesecurity.org-a, Bojan Basic

Kada bih znao resenje, nebih se ovde raspitivao tako da te molim da mi ne brises poruke.

Re: Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 11:13 · pre 175 meseci #2

Jesi li probao eliminacijom?:

$x=x(4-x)(4-x(4-x))(4-x(4-x)(4-x(4-x)))$

Inače ovako zdravorazumski vidi se da su x,y i z ravnopravno zamjenjivi.Zamjeni međusobno x i y (x=y i y=x) ili x i z ili y i z,sistem jednačina ostaje isti.Odatle jednakost
$x=y=z$ pa je $x=x(4-x)$

Odavde ispada da je x=0 ili x=3

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 14:31 · pre 175 meseci #3

Iz cikličnosti uslova ne sledi da je $x=y=z$ , već da ako je $(x,y,z)=(a,b,c)$ rešenje, onda su i $(x,y,z)=(b,c,a)$ i $(x,y,z)=(c,a,b)$ , takođe rešenja, tj. da su rešenja ciklično simetrična.

Zamenom se utvrđuje kom skupu mora pripadati $x$ . To je ova jednačina osmog stepena koju je zzzz napiisao. Ona ima osam rešenja i sva su realna i jednostruka. Racionalna su 0 i 3, a faktorizacija glasi

$(x-3)x(x^3-7x^2+14x-7)(x^3-6x^2+9x-3)$ .

Iz sistema se lako vidi da su $y$ i $z$ jednoznačno određeni sa $x$ , tako da svako rešenje po $x$ određuje po jednu trojku $(x,y,z)$ . Neposredno se proverava (a može i da se zaključi) da su svih osam dobijenih trojki rešenja. Pritom je $x=y=z$ samo kod racionalnih rešenja $(0,0,0)$ i $(3,3,3)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 14:55 · pre 175 meseci #4

Da, stvar je u tome da jednacina $f(f(f(x))) = x$ kao jedno od resenja zaista ima $f(x)=x$ . Srecom su to celi brojevi... Svakako mogu pomoci da se izvrsi faktorizacija, za koju ne znam kako je uradio Nedeljko, ja sam uplasen pobegao :)

Re: Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 15:22 · pre 175 meseci #5

Za faktorizaciju polinoma sa racionalnim koeficijentima nad poljem racionalnih brojeva ima više algoritama, od kojih je jedan Kronekerov, a ja svakako nisam gubio vreme na to, već se poslužio programom wxMaxima.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 15:58 · pre 175 meseci #6

Hvala na odgovorima.

Ostaje samo pitanje kako u realnim uslovima, tj na ispitu koji traje 4 sata, efektivno doci do navedene faktorizacije ? btw. Blanket sadrzi 8 zadataka i svaki se radi na neku foru koje se treba dosetiti za dato vreme.

Re: Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 18:58 · pre 175 meseci #7

Nađeš racionalne nule, pa podeliš polinom sa $x(x-3)$ . Ostaće ti polinom

$x^6-13x^5+65x^4-157x^3+189x^2-105x+21$

Najpre, po Gausovoj lemi je polinom sa celobrojnim koeficijentima rastavljiva nad poljem racionalnih brojeva akko je rastavljiv nad prstenom celih brojeva. Dakle, tražimo celobrojna rastavljanja. Prvo se konstatuje da nema linearnih činioca jer nema rcaionalnih korena. Pretpostavimo da ima činilaca stepena dva sa celim koeficijentima, tj. da se može napisati kao proizvod polinoma stepena dva i četiri sa celim koeficijentima. Bez umanjenja opštosti možemo pretpostaviti da je vodeći koeficijent činioca stepena dva pozitivan. Samim tim, takav mora biti i vodeći koeficijent činioca stepena četiri. No, pošto je njihov proizvod jednak 1, onda svaki od njih mora biti 1.

$x^6-13x^5+65x^4-157x^3+189x^2-105x+21=(x^2+ax+b)(x^4+cx^3+dx^2+ex+f)$ .

Prvo, $bf=21$ , pa $(b,f)\in\{(1,21),(-1,-21),(3,7),(-3,-7),(7,3),(-7,-3),(21,1),(-21,-1)\}$ .

Ako je npr. $(b,f)=(1,21)$ , onda jednakost

$x^6-13x^5+65x^4-157x^3+189x^2-105x+21=(x^2+ax+1)(x^4+cx^3+dx^2+ex+21)$

postaje sistem

$c+a=-13$ ,
$d+ac=64$ ,
$e+ad+c=-157$ ,
$ae+d=168$ ,
$21a+e=-105$ .

Dakle, imaš pet jednačina sa četiri nepoznate, pa petljaj s njima malo dok ne dobiješ kontradikciju. Recimo iz prve jednačine možeš da eliminišeš c, a iz pete e.

$d-13a-a^2=64$ ,
$-22a+ad=-39$ ,
$-105a-21a^2+d=168$ .

Oduzimanjem prve jednačine od treće dobija se da je

$5a^2+23a+26=0$ ,

čije je celobrojno rešenje -2. Zamenom dobijamo da je

$d=42$ ,
$2d=83$ ,

što je očigledna kontradikcija.

Tako se odbaci jedan po jean od parova kandidata za $(b,f)$ i konstatuje da nema činilaca sa celim koeficijentima stepena 2. Na sličan način se radi i sa činiocima stepena 3, s tim da, pošto su istog stepena, možemo pretpostaviti da je apsolutna vrednost slobodnog člana prvog činioca veća ili jednaka apsolutnoj vrednosti drugog činioca, pa imamo četiri slučaja umesto osam. Naravno, čim pogodimo jedan činilac, završili smo posao. Nema potrebe razmatrati i ostale slučajeve.

Lično ne smatram da je ovakav zadatak primereno dati kao jedan od četiri zadatka na ispitu koji traje četiri sata. No, to je na onima koji zadaju zadatke da odmere vreme potrebno za njihovu izradu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 20:21 · pre 175 meseci #8

Hvala puno.

Citat:

Nedeljko:
Lično ne smatram da je ovakav zadatak primereno dati kao jedan od četiri zadatka na ispitu koji traje četiri sata. No, to je na onima koji zadaju zadatke da odmere vreme potrebno za njihovu izradu.

Ispravka, jedan od 8 zadataka. Da ne spominjem da se na konsultacijama ovaj i jos neki zadaci rade satima, a dobijaju odgovori oblika " Ja ovde ne vidim resenje.. " . Dalje, bilo je i zadataka tipa dokazati nejednakost, ali je znak obrnut (pronadjen kontraprimer na ispitu.... ) .
No, to je neka d(r)uga prica.

Hvala jos jednom na pomoci.

Re: Ciklicni sistem jednacina 14.06.2012. u 22:58 · pre 175 meseci #9

Ako je tako, onda će biti da su postavljači mislili na ono što je zzzz napisao, tj. da nemaju pojma i tako svojim neznanjem zeznu one koji znaju i otele se da urade do kraja.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 25.06.2012. u 22:01 · pre 175 meseci #10

Evo još jednog cikličnog:
$x_1^2=1+2x_1x_2\\ x_2^2=1+2x_2x_3 \\ \vdots x_{n-1}^2=1+2x_{n-1}x_n\\ x_n^2=1+2x_nx_1$

Kada se ovo malo transformiše i pogleda, svaka jednačina liči na adicionu formulu za kotangens dvostrukog ugla. Smena: $x_1=ctg\alpha$ . Dalje je $x_2=ctg2\alpha$ itd. Dalje ne znam šta raditi, pogotovo sa poslednjom jednačinom. Upomoć !

Re: Ciklicni sistem jednacina 26.06.2012. u 11:02 · pre 175 meseci #11

Pa, sjajno si počeo. Pošto se u slučaju da je $x_i=0$ jednačina $x_i^2=1+2x_ix_{i+1}$ svodi na $0=1$ nijedna promenljiva ne sme biti jednaka nuli, pa je sistem ekvivalentan sa

$x_2=\frac{1-x_1^2}{2x_1}$ ,
...
$x_n=\frac{1-x_{n-1}^2}{2x_{n-1}}$ ,
$x_1=\frac{1-x_n^2}{2x_n}$ .

Neka je sada $\alpha\in(0,\pi)$ takvo da je $x_1=\cot(\alpha)$ . Indukcijom se lako proverava da je $x_i=\cot(2^{i-1}\alpha)$ . Uslovu $x_i\neq 0$ odgovara uslov $2^{i-1}\alpha\neq k\pi/2$ , odnosno $2^i\alpha/\pi\not\in Z$ .

E, sad, na osnovu poslednje jednačine je $\cot(\alpha)=x_1=\cot(2^n\alpha)$ , pa je $2^n\alpha=\alpha+k\pi$ , odnosno $\alpha=\frac{k\pi}{2^n-1}$ . Uslov $0<\alpha<\pi$ daje $k\in\{1,\dots,2^n-2\}$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 26.06.2012. u 13:22 · pre 175 meseci #12

Hvala puno na pomoći.
Da, znam da je $x_i=\cot(2^{i-1}\alpha)$ ali ne znam da li i to treba dokazivati, budući da argumenti kotangensa čine geometrijski niz uslovno rečeno.
Korak koji mi je nedostajao bio je $\cot(\alpha)=x_1=\cot(2^n\alpha)$

Još samo jedan detalj: Često je deo zadatka i pitanje koliko sistem ima rešenja. Da li odgovor dobijam prebrojavanjem skupa $\{1,\dots,2^n-2\}$ iz koga je k? Odnosno $2^n-2$ . I zašto uopšte $2^n-2$ ? Da nije $2^n-1$ ?

Re: Ciklicni sistem jednacina 26.06.2012. u 14:54 · pre 175 meseci #13

Da, svako k će ti dati po jedan sistem rešenja. Granica za k proističe iz granice za alfa. Pogledaj malo bolje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 26.06.2012. u 20:33 · pre 175 meseci #14

Zar nije (?:

$x_2=\frac{x_1^2-1}{2x_1}$ i slijedi smjena:

$ctg2\alpha=\frac{ctg^2\alpha-1}{2ctg\alpha}$ itd..

Ali i ovdje uočavam ovakvo trivijalno rješenje:

$x_1=x_2=...=x_i...=x_n=i$ ..... $i=\sqrt{-1}$

Sad mi se nešto čini da bi i prvi zadatak trebao ići na ovakav štos,
naprimjer ako transforišemo

$x_2=x_1(4-x_1)$ u.. $x_1=2+\sqrt{4-x_2}$
Ne vidim koja je funkcija zgodna za smjenu.Ili da nije greška u zadatku?
Ona faktorizacija mi izgleda preobiman posao,gotovo nemoguć.

Potpis

________________________________

Najbolja kritika formule za Sagnac effect:
https://www.omicsonline.org/op...090-0902-1000189.php?aid=78500

OK evo prave formule:P=2wft^2 [period]

Re: Ciklicni sistem jednacina 27.06.2012. u 13:46 · pre 175 meseci #15

Citat:

Ali i ovdje uočavam ovakvo trivijalno rješenje:

$x_1=x_2=...=x_i...=x_n=i$ ..... $i=\sqrt{-1}$

Zaboravih da kažem da je sistem trebalo rešiti u skupu realnih brojeva.

Re: Ciklicni sistem jednacina 28.06.2012. u 20:47 · pre 175 meseci #16

Novi sistem:
$x^y=z\\y^z=x\\z^x=y$
Treba ga rešiti u skupu pozitivnih realnih brojeva.
Osim očiglednog rešenja (1,1,1) , kako da nađem i ostala , ili dokažem da ih nema ?

U prvom trenutku, ovo što su pozitivni mi je sugerisalo pokušaj logaritmovanja
$x^y=z \dots/ ln \\ yln{x}=ln{z}\\ y=\frac{ln{z}}{ln{x}}$
koji ne znam gde vodi

Upomoć ...

Re: Ciklicni sistem jednacina 28.06.2012. u 22:34 · pre 175 meseci #17

Nesto sam krenuo ovako, vidi dal' je ok:

$x^y=z \land z^x=y \Rightarrow (x^y)^x = y$ pa kad dodamo jos $y^z=x$ dobija se $((x^y)^x)^z=x$ iliti $x\cdot y\cdot z=1$ .

E sad, ja sam nesto gledao, ako pretpostavimo da je x > 1, onda je, zbog uslova da su x, y i z pozitivni, $z = x^y > 1$ i zato i $y=z^x > 1$ . Naravno, posto je proizvod 1, ne mogu sva tri biti veci od 1. Analogno bi trebalo da se dobije i za $x \in (0,1)$ , samo sada ispadaju svi manji od 1, pa opet ne moze...

Re: Ciklicni sistem jednacina 28.06.2012. u 22:42 · pre 175 meseci #18

Bravo, darkosos! x=y=z=1 je jedino rešenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Ciklicni sistem jednacina 28.06.2012. u 22:51 · pre 175 meseci #19

bravo Darko.
Hvala puno.

Re: Ciklicni sistem jednacina 15.12.2012. u 17:01 · pre 169 meseci #20

Poštovani,
treba mi dokaz da je x=y=z ako je
$ax^2+bx+c=y\\ay^2+by+c=z\\az^2+bz+c=x$

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme