Pitanja za Matematicku Analizu

postovani forumasi (pre svega matematicari) dobar dan.
Posto spremam ispit iz matematicke analize, pa kako ne bi trosio pare na privatne casove za svaku sitnicu na koju naidjem da mi je nejasna, odlucio sam da otvorim ovu temu, a mozda jos nekom pomogne, primera radi mozda mojim kolegama koji isto spremaju analizu (a hvala bogu ima nas dosta)
pitanja su u okviru teorije izvoda sa jednom i vise promenljivih, trenutno to spremam.

pitanja:
1) najpre bi voleo da mi neko razjasni kakva je razlika izmedju neprekidnosti i uniformne neprekidnost, kako se ispituje uniformna neprekidnost kad dobijemo zadatu funkciju, evo primera radi: ispitati jel funkcija f(x)=ln(1+x) uniformno neprekidna nad intervalom [1,2]?
2) -ispitati jer f(x)=x^1/3 (treci koren iz x) diferencijabilna za svako x pripada R | kako se ispituje diferencijabilnost funkcije?
- evo jos jednog tipicno slicnog primera, ispitati z=x^2-xy+y^2 je diferencijabilna za svako x pripada R^2
3)f(x)=(1/2)sin2x+(1/30)sin30x+(1/100)sin100x je diferencijabilna za svako x i jednacin cos2x+cos30x+cos100x=0 ima bar jedno resenje nad intervalom (0,3pi)
4) funkcija z=f(x,y)= -> (xy^2)/(x^2+y^2) , za (x,y razlicito (sad ne znam kako da napisem znak za nejednakost) od (0,0)
-> 0 , za (x,y) = (0,0) , ima parcijalne izvode dz/dx i dz/dz u tacki O(0,0) (upotrebio sam oznaku d za oznacavanje parcijalnih izvoda, nisa znao koju drugu oznaku da upotrebim

ovo su neka od pitanja koja ne razume (ili ne znam kako se resava), u nadi da cete mi pomoci zahvalio bih vam se..

1) Svaka ravnomerno neprekidna funkcija na nekom skupu je neprekidna na tom skupu. Obrat u opštem slučaju važi, ali postoji Kantorova teorema o ravnomernoj neprekidnosti po kojoj je svaka neprekidna funkcija na kompaktnom skupu ravnomerno neprekidna na njemu. Obzirom da je neprekidna funkcija na kompaktnom skupu , ona je i ragvnomerno neprekidna na njemu. Primer neprekidne funkcije koja nije ravnomerno neprekidna je .

2) Ne znam da li se traži ispitivanje diferencijabilnosti po definiciji ili ne. Ako je odgovor negativan, izvod funkcije je funkcija , koja nije definisana u nuli. Nediferencijabilnost u nuli se može dokazati po definiciji.



To si mogao da dobiješ na još jedan način: ako postoji konačan i funkcija je neprekidna u tački , onda je funkcija diferencijabilna u tački i ima izvod , tj. . Isto tako, ako je , onda ne postoji. Ovo je neposredna posledica Lopitalovog pravila.

.

Što se diferencijabilnosti funkcija više promenljivih tiče, za diferencijabilnost funkcije u svakoj tački nekog otvorenog skupa dovoljno je da na tom otvorenom skupu postoje parcijalni izvodi te funkcije po svakoj od promenljivih i da su neprekidni na tom otvorenom skupu.

3) Primeni Rolovu teoremu.

4) Nije mi jasno šta je pitanje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

mnogo hvala, za 4 pitanje sam predpostavio da se nece skontati jel je malo cudno napisano u zbirci (a ne znam kako da napisem) nema veze pitacu kolegu za cetvrto ili cu otici na konsultacije.

Pa, šta je pisalo u zbirci?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Jel bi mogao neko da mi pomogne oko dokaza neprekidnosti funkcije y= sin(x) + cos (x) pomocu definicije? Hvala :D

Koristi formule za pretvaranje razlike sinusa i razlike kosinusa u proizvod.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ok. A moze li neko da baci pogled i proveri ovo sto sam pisao...

Dobro je to.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

A jel bi neko pogledao ovaj prolem? :D

za , odnosno za . Koliko se ja razumem, ta funkcija je neprekidna na celom skupu realnih brojeva.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Mene muci slucaj kad je x<-1, pa onda trazim cemu tezi x^2n .... Jel tacno da taj limes ne postoji? Da li bi bilo isto ako bi umesto x^2n stavili x^n ? hvalaa..

Rekoh da postoji. Funkcija je parna. . Za limes je isti kao za .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ok, to mi je jasno... A kad ispitujem neprekidnost funkcije y=cos x , da li razmatram slucaj kada je xo = 0 ?

Dokazuješ neprekidnost u svakoj realnoj tački. Postupak se ne razlikuje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ok. Da li je u redu dokaz?

Izvođenje koje si naveo za funkcioniše i za . Ne znam zašto si uopšte razlikovao slučajeve.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Na vezbama smo tako radili za sin x... sto je izgleda bespotrebno...

Jel moze neko da mi pomogne oko zadatka.... Sta dalje??

Pa nzm, valjda treba da proveris neprekidnost. Sve si tezi na laksi slucaj, sad ne bi trebalo da bude problema.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

I dalje nisam siguran sta treba da ispisem....