1) Svaka ravnomerno neprekidna funkcija na nekom skupu je neprekidna na tom skupu. Obrat u opštem slučaju važi, ali postoji Kantorova teorema o ravnomernoj neprekidnosti po kojoj je svaka neprekidna funkcija na kompaktnom skupu ravnomerno neprekidna na njemu. Obzirom da je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/e8dca25b6476aff3c2dfcf6f09c1cf0b.png)
neprekidna funkcija na kompaktnom skupu
![](https://static.elitesecurity.org/tex/32ff4ffc0cbabb86a737d1c4df859057.png)
, ona je i ragvnomerno neprekidna na njemu. Primer neprekidne funkcije koja nije ravnomerno neprekidna je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/0c2e58793c82994df03ebdc5e08c632c.png)
.
2) Ne znam da li se traži ispitivanje diferencijabilnosti po definiciji ili ne. Ako je odgovor negativan, izvod funkcije
![](https://static.elitesecurity.org/tex/f3b3b418587c1289260d539d2a1e467d.png)
je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/d31c164a27ceec5a4e6860ca03edd0d7.png)
, koja nije definisana u nuli. Nediferencijabilnost u nuli se može dokazati po definiciji.
To si mogao da dobiješ na još jedan način: ako postoji konačan
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ddf45f2a1b7d4167593671526219e085.png)
i funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9277a401b77610ab14a129e33684ea32.png)
je neprekidna u tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
, onda je funkcija
![](https://static.elitesecurity.org/tex/9277a401b77610ab14a129e33684ea32.png)
diferencijabilna u tački
![](https://static.elitesecurity.org/tex/64d3dae627ebefd097b7916f8bdc6826.png)
i ima izvod
![](https://static.elitesecurity.org/tex/92e440f27bdf4c6d6b1b23402b249227.png)
, tj.
![](https://static.elitesecurity.org/tex/3a88c6d40ff1e9c0050fc83bf70e442c.png)
. Isto tako, ako je
![](https://static.elitesecurity.org/tex/ad6808cf10b4c295cf0e5dfb60983e94.png)
, onda
![](https://static.elitesecurity.org/tex/41a10204df336396b7c8c8498f773595.png)
ne postoji. Ovo je neposredna posledica Lopitalovog pravila.
![](https://static.elitesecurity.org/tex/1c99a3726e22ae0be4367a436a0e9161.png)
.
Što se diferencijabilnosti funkcija više promenljivih tiče, za diferencijabilnost funkcije u svakoj tački nekog otvorenog skupa dovoljno je da na tom otvorenom skupu postoje parcijalni izvodi te funkcije po svakoj od promenljivih i da su neprekidni na tom otvorenom skupu.
3) Primeni Rolovu teoremu.
4) Nije mi jasno šta je pitanje.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.