1) Svaka ravnomerno neprekidna funkcija na nekom skupu je neprekidna na tom skupu. Obrat u opštem slučaju važi, ali postoji Kantorova teorema o ravnomernoj neprekidnosti po kojoj je svaka neprekidna funkcija na kompaktnom skupu ravnomerno neprekidna na njemu. Obzirom da je
neprekidna funkcija na kompaktnom skupu
, ona je i ragvnomerno neprekidna na njemu. Primer neprekidne funkcije koja nije ravnomerno neprekidna je
.
2) Ne znam da li se traži ispitivanje diferencijabilnosti po definiciji ili ne. Ako je odgovor negativan, izvod funkcije
je funkcija
, koja nije definisana u nuli. Nediferencijabilnost u nuli se može dokazati po definiciji.
To si mogao da dobiješ na još jedan način: ako postoji konačan
i funkcija
je neprekidna u tački
, onda je funkcija
diferencijabilna u tački
i ima izvod
, tj.
. Isto tako, ako je
, onda
ne postoji. Ovo je neposredna posledica Lopitalovog pravila.
.
Što se diferencijabilnosti funkcija više promenljivih tiče, za diferencijabilnost funkcije u svakoj tački nekog otvorenog skupa dovoljno je da na tom otvorenom skupu postoje parcijalni izvodi te funkcije po svakoj od promenljivih i da su neprekidni na tom otvorenom skupu.
3) Primeni Rolovu teoremu.
4) Nije mi jasno šta je pitanje.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.