Serija proizvoda.

Serija proizvoda. 24.01.2012. u 21:10 · pre 179 meseci #1

Pozdrav,

imam jedan zadatak koji mi nije jasan. U pitanju je serija proizvoda.(barem tako mislim)

*iznad $\Pi$ piše n-1, ali nisam skontao kako da ga otkucam*

$x^2^n-1=(x^2-1)\Pi_{k=1} (x^2-2x\cos{k\pi\over n}+1)$

Prvi zakljucak je da n ne može biti manje od 1, tj. da n pripada skupu N osim 1.

Mislim da se ovde treba primjeniti matematička indkucija.
Za prvi slucaj n=2 dobio sam $x^2-1=x^2-1$ .

Sad treba pretpostaviti da je data jednakost tačna i za n+1 članova.

E sad dobija se za proizvod, n-1+1 članova, što je naravno n. Moje pitanje je da li sam ja u ovome dijelu dobio novu jednakost
$x^2^(^n^+^1^)-1=(x^2-1)\Pi_{k=1} (x^2-2x\cos{k\pi\over n+1}+1)$ ?

*iznad $\Pi$ piše n-1+1*

Kasnije na osnovu dokazane ove jednakosti treba izračunati $\Pi_{k=1}\sin{k\pi\over 2n}$ *n-1* ali ja ne mogu nikako da je dokažem.

Ako možete me samo usmjeriti gdje sam pogrješio i šta treba uraditi.

Hvala

Re: Serija proizvoda. 24.01.2012. u 21:46 · pre 179 meseci #2

Ako treba da se dokaze: $x^{2n}-1=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1} \Bigg(x^2-2x \cos \Bigg(\frac{k \pi}{n}\Bigg)+1\Bigg)$ ,onda indukcijom recimo za n=2 dobili bi $(x^2-1)(x^2+1)=(x^2-1)\prod_{k=1}^{1} \Bigg(x^2-2x \cos\frac{\pi}{2}+1\Bigg) \Longrightarrow x^2+1=x^2+1$ ,jer je $\cos 90^{\circ}=0$ ,sada bi za n+1 valjda trebalo ic nesto ovako(neka me ispravi neko ako sam pogrijesio) $x^{2n+2}-1=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1+1} \Bigg(x^2-2x \cos \Bigg(\frac{k \pi}{n+1}\Bigg)+1\Bigg) \Rightarrow x^{2n}-1+(x^2-1)=(x^2-1)\Bigg(\prod_{k=1}^{n-1} x^2-2x\cos\frac{k\pi}{n}\Bigg)+x^2-2x\cos\frac{k\pi}{n+1}$ ,odavde slijedi da jos treba dokazat $x^2-1=x^2-2x\cos\frac{k\pi}{n+1}$ .

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Serija proizvoda. 25.01.2012. u 16:06 · pre 179 meseci #3

Misliš da sada ovaj zadnji izraz treba provjeriti za savko n osim -1?

Imaju dvije nepoznate x i n. Nema ni nekog uslova ni nešto za ovu drugu relaciju.

Uradim sledeće:

$1=2x\cos{\pi\over n+1}$

$x={2 \over {\cos{\pi\over n+1}}}$ . Ne razumijem kako ovo da dokažem.

Ako možete samo provjeriti još da li je tačan ovaj zadatak.

U pitanju je niz i ispitati da li je rastući i neogranićen.

Hvala

Re: Serija proizvoda. 25.01.2012. u 16:25 · pre 179 meseci #4

Reši jednačinu

$x^2-2x\cos\alpha+1=0$

Rešenja su $x_{1/2}=\cos\alpha\pm i\sin\alpha$ .

Dokaži da u jednačini iz zadatka na levoj i desnoj strani imaš polinome bez višestrukih korena sa istim skupovima korena i istim vodećim koeficijentom i to je sve.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme