kvadratne jednacine i resenja

kvadratne jednacine i resenja 13.01.2012. u 00:24 · pre 179 meseci #1

Odrediti sve vrednosti kER za koja su resenja jednacine (k+1)x^2-3kx+4k=0 veca od 1?
Ja sam ovako razmisljala, ako su reseja veca od 1, onda je i njihov zbir i proizvod veci od 1, i onda pomocu Vijetovih dobijem intervale u kojima vazi da su resenja veca od 1, da li moze ovako da se resi ovaj zadatak ili na neki drugi nacin???

Re: kvadratne jednacine i resenja 13.01.2012. u 00:34 · pre 179 meseci #2

Ja sam se jednom tako opekao: http://www.elitesecurity.org/t183907-0#2992495

Vidi Srdjanovo resenje, tako je najsigurnije.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: kvadratne jednacine i resenja 13.01.2012. u 00:48 · pre 179 meseci #3

ali ovako ako radim dobije se konjugovano kompleksno resenje :/

Re: kvadratne jednacine i resenja 13.01.2012. u 09:55 · pre 179 meseci #4

Da bi rjesenje bili veca od jedan mora da fazi $af(1)>0$ , $f(x)=(k+1)x^2-3kx+4k$ , $D=b^2-4ac \ge 0$ i $1<-\frac{b}{2a}$ ,ovako na brzinu mislim da bi trebalo da se dobije $x \in \left[-\frac{16}{7},-1 \right)$ .

_{[Ovu poruku je menjao edisnp dana 13.01.2012. u 11:25 GMT+1]}

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: kvadratne jednacine i resenja 13.01.2012. u 18:28 · pre 179 meseci #5

$(k+1)x^2 - 3kx+4k=0$
$x_{1/2}=\frac{3k \pm \sqrt{9k^2-4\cdot (k+1) \cdot 4k}}{2(k+1)}$
$x_{1/2}=\frac{3k \pm \sqrt{-7k^2-16k}}{2k+2}$
$\frac{3k \pm \sqrt{-7k^2-16k}}{2k+2}>1 \wedge -7k^2-16k \ge 0$

$-7k^2-16k \ge 0$
$-k(7k+16)\ge 0$
$k_1=0$
$k_2=-\frac{16}{7}$
$k \in \left[ -\frac{16}{7}, 0 \right]$

$\frac{3k \pm \sqrt{-7k^2-16k}}{2k+2}>1$
$3k \pm \sqrt{-7k^2-16k} > 2k+2$
$\pm \sqrt{-7k^2-16k} > 2 - k$
$-7k^2-16k > 4 - 4k + k^2$
$-8k^2 - 12k - 4 > 0$
$2k^2 + 3k + 1 < 0$

$k_{3/4}=\frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{4}$
$k_3 = - \frac{1}{2}$
$k_4 = -1$
$k \in \left( -1, -\frac{1}{2} \right)$

$k \in \left[ -\frac{16}{7}, -1 \right] \cap \left( -1, -\frac{1}{2} \right)$
$k \in \emptyset$

_{[Ovu poruku je menjao lonelyrider_44 dana 14.01.2012. u 13:35 GMT+1]}

Re: kvadratne jednacine i resenja 14.01.2012. u 12:19 · pre 179 meseci #6

Samo za ovu poslednju nejednacinu skup resenja bi bio valjda od -1 do - 1/2 jer je nejednacina 2x^2+3x+1<0 ako koristimo tabelu, negativna u intervalu [-1, -1/2] ??

Re: kvadratne jednacine i resenja 14.01.2012. u 12:36 · pre 179 meseci #7

U pravu si, izmenio sam.

Re: kvadratne jednacine i resenja 14.01.2012. u 13:13 · pre 179 meseci #8

Citat:

lonelyrider_44:

$\frac{3k \pm \sqrt{-7k^2-16k}}{2k+2}>1$

Nisi dobro resio ovu nejednacinu, trebalo bi da se dobije $k \in \left[-\frac{16}{7},-1\right)$
Ne mozes tek tako da kvadriras i da resavas, postoje i neki uslovi koji moraju biti zadovoljeni.

Citat:

lonelyrider_44:

$k \in \emptyset$

Obrati paznju sta si napisao.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.

Re: kvadratne jednacine i resenja 14.01.2012. u 14:37 · pre 179 meseci #9

@lonelyrider_44
Takodje u jednom koraku si cijelu nejednacinu mnozio sa imeniocem,za koji neznas dal je pozitivan ili negativan,nidje ti nema uslova.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: kvadratne jednacine i resenja 14.01.2012. u 15:34 · pre 179 meseci #10

@Sonec, hvala na ukazanim greskama.

$(k+1)x^2 - 3kx+4k=0$
$x_{1/2}=\frac{3k \pm \sqrt{9k^2-4\cdot (k+1) \cdot 4k}}{2(k+1)}$
$x_{1/2}=\frac{3k \pm \sqrt{-7k^2-16k}}{2k+2}$
$\frac{3k \pm \sqrt{-7k^2-16k}}{2k+2}>1$
$\frac{3k \pm \sqrt{-7k^2-16k}}{2k+2} - 1>0$
$\frac{3k \pm \sqrt{-7k^2-16k} - 2k - 2}{2k+2}>0$
$\frac{k \pm \sqrt{-7k^2-16k} - 2}{2k+2}>0$

Uslovi:

$-7k^2-16k \ge 0 & \wedge & 2k+2 \ne 0$

$-k(7k+16)\ge 0 & \wedge & k \ne -1$
$k_1=0$
$k_2=-\frac{16}{7}$
k \in \left[ -\frac{16}{7}, -1) \cup \left(-1, 0 \right ]

$\frac{k \pm \sqrt{-7k^2-16k} - 2}{2k+2}>0$

$k \pm \sqrt{-7k^2-16k} - 2 > 0 & \wedge & 2k+2>0 & \vee & k \pm \sqrt{-7k^2-16k} - 2 < 0 & \wedge & 2k+2<0$

$k \in \left(-1,-\frac{1}{2}\right) & \wedge & k>-1 & \vee & k \in (-\infty,-1) \cup (-\frac{1}{2},\infty) & \wedge & k<-1$

$k \in \left(-1,-\frac{1}{2}\right) & \vee & k \in (-\infty,-1)$
$k \in \left(-\infty,-1\right) \cup \left(-1,-\frac{1}{2}\right)$

Zajedno sa gornjim uslovom, k \in \left[ -\frac{16}{7}, -1) \cup \left(-1, 0 \right ] :
k \in \left[ -\frac{16}{7}, -1) \cup \left(-1, 0 \right ] & \wedge & k \in (-\infty,-1) \cup (-1,-\frac{1}{2})
$k \in \left[-\frac{16}{7},-1\right) \cup \left(-1,-\frac{1}{2}\right)$

Re: kvadratne jednacine i resenja 16.01.2012. u 22:01 · pre 179 meseci #11

Ok hvala sad mi je jasno, na osnovu ovoga sam resila slican zadatak, x^2+kx+k^2-1=0 resenja sada treba da su manja od jedan, i ja sam dobila da k pripada [(-2√3)/2 , -1)∪[0,(2√3)/2), da li je resenje tacno?

Re: kvadratne jednacine i resenja 17.01.2012. u 01:06 · pre 179 meseci #12

$2 \sqrt 3 \over 3$ umesto kroz 2.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: kvadratne jednacine i resenja 17.01.2012. u 01:11 · pre 179 meseci #13

A prethodni zadatak:

$-\frac{16}{7}\leq k<-1$ .

Ono (-1,-1/2) ne može nikako.

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: kvadratne jednacine i resenja 18.01.2012. u 11:32 · pre 179 meseci #14

Da da ja sam pogresno kucala jeste kroz 3.

Re: kvadratne jednacine i resenja 02.03.2012. u 11:41 · pre 178 meseci #15

a da li treba da se proveri, sta se dobije kad je koeficijent uz kvadratni clan jednak nuli tj. kad je k=-1,(posto se to uvek proverava kad koeficijent uz kvadratni clan zavisi od parametra) onda se dobije x=4/3 a to je vece od 1 i onda bi i -1 trebalo da je resenje?????

Re: kvadratne jednacine i resenja 02.03.2012. u 17:11 · pre 178 meseci #16

Ja bih rekao da treba... U tekstu zadatka se ne sugerise da je to kvadratna jednacina. Metode kojima je resavan zadatak su primenjive samo ako je to kvadratna jednacina, a ovo poslednje je specijalan slucaj u kome jednacina nije kvadratna, ali je i dalje jednacina :)

Srodne teme