Zordanova forma matrice

Zordanova forma matrice 16.08.2010. u 02:27 · pre 197 meseci #1

Imam problem sa razumijevanjem zadatka,naime kroz zadatak cu postavljati pitanja. Ukoliko neko bude imao strpljenja da odgovori, unaprijed zahvaljujem.
Zadatak:
Linearna transformacija A vektorskog prostora V u odnosu na bazu {e₁,e₂,e₃} ima matricu:
A= $\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 3\\ \end{array}\right]$
Naci Zordanovu formu matrice J matrice A, a zatim odrediti regularnu matricu P tako da je J=P^-1AP

Rjesenje:
Ovako sam radila:
det (A-tI)= $\left[\begin{array}{ccc} 3-t & -1 & 2\\ 1 & 1-t & 2\\ 1 & -1 & 3-t\\ \end{array}\right]$ =(3-t)(t-2)²
Za t₁=3 m=1 (sa m oznacavam visestrukost)
(A-t₁I)= $\left[\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & -1 & 3\\ \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right]$
-b+2c=0→c=2b
a-2b+2c=0
a-b=0→a=b
E_t₁={a,b,2b;a,bER}
dim E_t₁=2-----------------ovdje problem, naime kada nam je profesor govorio kaze da broj promjenjljivih kojima se izrazi baza je u stvari dimenzija (dim) te baze
Dalje

Za t_2,3=2 m=2
(A-t₁I)= $\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right]$

a-b+2c=0
a-b+2c=0
a-b+c=0
Prve dvije jednacine su iste, zbog toga odbacujemo jednu, pa imamo:

a-b+2c=0→a=b-2c
a-b+c=0
E_t₂={b-2c,b,c;b,c,bER}------------ovdje se pojavljuju dvije promjenljive to znaci:
dim E_t₂=2

Ne znam zbog cega mi je dimenzija jednaka visestrukosti nule svojstvene vrijednosti.
Takodje mislim da dimenzija kod visestruke nule svojstvene vrijednosti govori koliko imam Zordanovih blokova?

Dalje bi trebalo ici:

W_t₂=Ker(A-tidv)²
to jest:
(A-t₂I)²=(A-2I)²= $\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ \end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ \end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 2 & -2 & 2\\ 1 & -1 & 1\\ \end{array}\right]$

Zadatak jos nije gotov, ali me interesuju dimenzije i kako odredujemo koji je Zordanov blok, buduci da ih ima koliko ja znam 3 vrste, mozda grijesim. Unaprijed se svima zahvaljujem na pomoci.

Re: Zordanova forma matrice 16.08.2010. u 12:12 · pre 197 meseci #2

Broj linearno nezavisnih sopstvenih vektora koji odgovaraju nekoj sopstvenoj vrednosti je najmanje 1, a najviše višestrukost sopstvene vrednosti.ž

Iz $-b+2c$ sledi $b=2c$ , a ne $c=2b$ .

Dakle, za prvu sopstvenu vrednost je

$a=b=2c$ , pa joj odgovara sopstveni vektor $v_1=[2,2,1]^T$ .

Za drugu sopstvenu vrednost dobijaš samo jedan sopstveni vektor $[1,1,0]^T$ , ali kada kvadriraš matricu $A-t_2I$ dobićeš još jedan sopstveni vektor $v_3=[1,2,1]^T$ . Pritom je $(A-t_2I)v_3\neq 0$ , pa za drugi sopstveni vektor biraš $v_2=(A-t_2I)v_3=[1,1,0]^T$ , pa matrica prelaska glasi

$P=\left[ \begin{array}{rrr}2 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1\end{array} \right]$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zordanova forma matrice 16.08.2010. u 21:24 · pre 197 meseci #3

Ok hvala,ali kako mogu znati koliko Zordanovih blokova imam i koji je prvi.
Unaprijed hvala.

Re: Zordanova forma matrice 17.08.2010. u 00:09 · pre 197 meseci #4

Jedan odgovara jednostrukoj sopstvenoj vrednosti. Drugi odgovara drugoj sopstvenoj vrednosti. Obzirom da imaš samo jedan "Inicijalni" vektor (v3) za drugu sopstvenu vrednost (jer se v2 dobija iz v3), njima odgovara jedan blok.

Matricu P sam formirao upisujući kao prvu kolonu sopstveni vektor koji odgovara prvoj sopstvenoj vrednosti, pa će zato prvi blok odgovarati toj sopstvenoj vrednosti.

Dakle,

$M=\left[ \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right]$ .

Uostalom, možeš i da izmnožiš $M=P^{-1}AP$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zordanova forma matrice 17.08.2010. u 02:38 · pre 197 meseci #5

Kao kroz maglu se sećam:
Za jednostruku karakterističnu (sopstvenu) vrednost (lambda = 3 u primeru) se ništa ne dokazuje,
ali mislim da za višestruku karakterističnu (sopstvenu) vrednost (lambda = 2 u primeru) mora da se dokaže da važi:

"rang(A-lambda*I) = n - višestrukost" (ili samo višestrukost, ne mogu da setim, a nije mi Drešević pri ruci).

Da bi se dokazala Teorema (ili stav) o dijagonalizaciji.

Bar nama nisu hteli da priznaju rešenje zadatka bez tog dokaza.

Re: Zordanova forma matrice 17.08.2010. u 10:16 · pre 197 meseci #6

Da bi se matrica $A$ reda $n$ mogla dijagonalizovati, potrebno je i dovoljno da za svaku sopstvenu vrednost $\lambda$ matrice $A$ bude $r(A-\lambda I)=n-k$ , gde je $k$ višestrukost sopstvene vrednosti $\lambda$ .

Matrica iz ovog primera se ne može dijagonalizovati, ali kao i svaka kvadratna matrica ima Žordanovu kanonsku formu.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zordanova forma matrice 18.08.2010. u 03:02 · pre 197 meseci #7

Hvala vam puno.Nadam se da ce jos neko da se pomogne sa ovim

Re: Zordanova forma matrice 18.08.2010. u 10:29 · pre 197 meseci #8

A šta treba još da se pomogne? Odgovoreno je na pitanje koje je postavljeno.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zordanova forma matrice 18.08.2010. u 14:47 · pre 197 meseci #9

"da se pomogne" = "imaće koristi još neko od ovoga što si razjasnio".

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme