Trigonometrijska jednacina

Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 16:56 · pre 198 meseci #1

Evo mene opet : )

Jos jedan problemcic u vezi prijemnih zadataka, radi se o trigonometrijskoj jednacini u koju JA MISLIM treba uvesti smjenu tg(x/2), ali nisam siguran kako privesti kraju zadatak koji glasi ovako:

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 17:24 · pre 198 meseci #2

Zadatak čak i ja znam da rešim i to pomoću sin²x + cos²x = 1 za minut.

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 17:33 · pre 198 meseci #3

Pokušat ću i tako ako se uspijem snaći :D Jbg izvinjavam se ako postavljam gluposti, ali sada pred prijemni kroz sve 4 godine prelazim, pa malo je sve još uvijek pomiješano :D

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 17:46 · pre 198 meseci #4

Možeš da se drndaš sa smenom $t=\tan{x\over 2}$ , ali nije nužno. Najprostije ti je ovako:

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$

${1\over 2}\sin x+{\sqrt{3}\over 2}\cos x={1\over 2}$

$\cos{\pi\over 3}\sin x+\sin{\pi\over 3}\cos x={1\over 2}$

$\sin\left(x+{\pi\over 3}\right)={1\over 2}$

$x_1+{\pi\over 3}={\pi\over 6}+2k\pi\Longrightarrow x_1=-{\pi\over 6}+2k\pi, k\in\mathbf{Z}$

$x_2+{\pi\over 3}={5\pi\over 6}+2k\pi\Longrightarrow x_2={\pi\over 2}+2k\pi, k\in\mathbf{Z}$

_{Bojan Bašić: izbačena lična prozivka holononija.}

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 17:57 · pre 198 meseci #5

OK, hvala puno, evo uradio sam i dobio dva rjesenja:

1) pi/2 + kpi
2) pi/6 + 2kpi

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 18:55 · pre 198 meseci #6

Ne valja ti ni jedno ni drugo rešenje.

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 19:43 · pre 198 meseci #7

Serviranje gotovih rešenja je "medvedja usluga". Mnogo je bolje podsetiti učenika (iz čijih se komentara vidi da se i sam trudi) na to da treba znati neke od osnovnih trigonometrijskih jednakosti.

Matematika u kojoj neko tera učenike da pamte gomilu vrednosti trigonometrijskih funkcija je potrebna u životu isto kao i lanjski sneg. Zato je puki kapric nešto poput "e neznaš koliko je sinus od 23.17 stepene jedan za kraj godine". Mnogo je bolje učiti kako se barata tim formulam jer vrednosti trigonometrijskih funkcija možete očas dobiti iz kalkulatoa koji se nadje na djubrištu.

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 20:34 · pre 198 meseci #8

Smena tg(x/2)=t ili korišćenje osnovnog trinometrijskog identiteta su mnogo jače metode za rešavanje ovakvih jednačina.
Ovo rešenje je trange-frange. Pomaže u ovom zadatku a u sledećih 999 ne pali.

Recimo, naći sva rešenja:
sin(x) + cos(x) = 1

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 21:28 · pre 198 meseci #9

Može i ovako (bez da se zna sinus zbira):

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1 /^2\\ \sin^2 x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+3\cos^2 x=1\\ (\sin^2 x+\cos^2 x)+2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^2 x=1\\ 2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^2 x=0\\ \cos^2x\left(\sqrt{3}\tan x+1\right)=0\\ \cos^2 x=0\,\,\vee\,\,\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ x_1=\frac{\pi}{2}+k\pi\,\,\vee\,\,x_2=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$

Potpis

"Ima jedna vračarija za taj strav od vampiri. Kad se nekoj mlogo plaši, ja mu malko prebajem. Uznem jedno perce od crnu kokošku, jednu rženu slamku i malko bosiljak. Toj držim u ruku, a taj čovek što ga strav, on se krsti a ja bajem: "Otud ide crna kvačka, vodi crni piliki, dovede gi na crno bunjište, tuj čeprljaše i raščeprljaše, s kljunice iskljucaše, i raznesoše i odletoše."

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 21:44 · pre 198 meseci #10

Citat:

mokelet: Može i ovako (bez da se zna sinus zbira):

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1 /^2\\ \sin^2 x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+3\cos^2 x=1\\ (\sin^2 x+\cos^2 x)+2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^2 x=1\\ 2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^2 x=0\\ \cos^2x\left(\sqrt{3}\tan x+1\right)=0\\ \cos^2 x=0\,\,\vee\,\,\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\ x_1=\frac{\pi}{2}+k\pi\,\,\vee\,\,x_2=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$

Kao što već rekoh gore, rešenje $x_1={\pi\over 2}+k\pi$ nije ispravno: recimo, za $x={3\pi\over 2}$ jednačina nije zadovoljena. Ali ko se još uopšte bakće s time da proveri rešenja...

Citat:

miki069: Smena tg(x/2)=t ili korišćenje osnovnog trinometrijskog identiteta su mnogo jače metode za rešavanje ovakvih jednačina.
Ovo rešenje je trange-frange. Pomaže u ovom zadatku a u sledećih 999 ne pali.

Recimo, naći sva rešenja:
sin(x) + cos(x) = 1

Uh, što obožavam kad "stručnjaci" pričaju napamet:

$\sin x+\cos x=1$

${1\over\sqrt{2}}\sin x+{1\over\sqrt{2}}\cos x={1\over\sqrt{2}}$

$\cos\left(x-{\pi\over 4}\right)={1\over\sqrt{2}}$

$x-{\pi\over 4}=\pm{\pi\over 4}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$

$x_1={\pi\over 2}+2k\pi, x_2=2k\pi, k\in\mathbf{Z}$

Pojma ti nemaš. Sedi - jedan.

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 21:54 · pre 198 meseci #11

Uradi ta 2 zadatka i sledećih 999 998 komada ćorak:

Ajde demonstriraj na:

2*sin(x) + 3*cos(x) = 1

Upustvo za "stručnjaka" koji deli jednačine: podeli je sa Plankovom kostatnom.

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 21:54 · pre 198 meseci #12

Hebote, al' ste surovi.

Potpis

"Ima jedna vračarija za taj strav od vampiri. Kad se nekoj mlogo plaši, ja mu malko prebajem. Uznem jedno perce od crnu kokošku, jednu rženu slamku i malko bosiljak. Toj držim u ruku, a taj čovek što ga strav, on se krsti a ja bajem: "Otud ide crna kvačka, vodi crni piliki, dovede gi na crno bunjište, tuj čeprljaše i raščeprljaše, s kljunice iskljucaše, i raznesoše i odletoše."

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 22:07 · pre 198 meseci #13

Vrućina...

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 22:32 · pre 198 meseci #14

Citat:

miki069:
Ajde demonstriraj na:

2*sin(x) + 3*cos(x) = 1

Evo, ja ću.

Citat:

miki069:
Upustvo za "stručnjaka" koji deli jednačine: podeli je sa Plankovom kostatnom.

Nema potrebe, biće dovoljno i $\sqrt{13}$ .
$\frac 2{\sqrt{13}}\sin x+\frac 3{\sqrt{13}}\cos x=\frac 1{\sqrt{13}}$
I sada, pošto je $\cos\arccos\frac 2{\sqrt{13}}=\frac 2{\sqrt{13}}$ i $\sin\arccos\frac 2{\sqrt{13}}=\sqrt{1-\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2}=\sqrt{\frac 9{13}}=\frac 3{\sqrt{13}}$ , nastavljamo kao i ranije:
$\cos\arccos\frac 2{\sqrt{13}}\sin x+\sin\arccos\frac 2{\sqrt{13}}\cos x=\frac 1{\sqrt{13}}$
$\sin\left(x+\arccos\frac 2{\sqrt{13}}\right)=\frac 1{\sqrt{13}}$
$x_1+\arccos\frac 2{\sqrt{13}}=\arcsin\frac 1{\sqrt{13}}+2k\pi\Rightarrow x_1=\arcsin\frac 1{\sqrt{13}}-\arccos\frac 2{\sqrt{13}}+2k\pi$
$x_2+\arccos\frac 2{\sqrt{13}}=\pi-\arcsin\frac 1{\sqrt{13}}+2k\pi\Rightarrow x_2=\pi-\arcsin\frac 1{\sqrt{13}}-\arccos\frac 2{\sqrt{13}}+2k\pi$

Hoćeš li sad priznati da si nadmeno pričao o stvarima u koje se ne razumeš previše, ili ćeš se prvo ispaliti još nekoliko puta?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 22:36 · pre 198 meseci #15

Citat:

miki069: Uradi ta 2 zadatka i sledećih 999 998 komada ćorak:

Ajde demonstriraj na:

2*sin(x) + 3*cos(x) = 1

Upustvo za "stručnjaka" koji deli jednačine: podeli je sa Plankovom kostatnom.

Gospode bože, kako si žalosno komičan u svom nemoćnom besu neznalice koji bi tako silno želeo da se razbacuje "najjačim metodama"... Dođe čoveku da zaplače...

$2\sin x+3\cos x=1$

${2\over\sqrt{13}}\sin x+{3\over\sqrt{13}}\cos x={1\over\sqrt{13}}$

$\cos\left(x-\mathrm{arctg}\,{2\over 3}\right)={1\over\sqrt{13}}$

$x=\mathrm{arctg}\,{2\over 3}\pm\arccos{1\over\sqrt{13}}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}$

A ako nam je stalo da sredimo ove izraze (ne bih te zadržavao na tome, treba da smišljaš nove nerešive jednačine), dobićemo

$x_1=-\mathrm{arctg}\,{6-2\sqrt{3}\over 3}+2k\pi,x_2=\pi-\mathrm{arctg}\,{6+2\sqrt{3}\over 3}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$

Re: Trigonometrijska jednacina 30.06.2010. u 22:58 · pre 198 meseci #16

Citat:

Vrućina...

10000°F.JPG258.14k

Re: Trigonometrijska jednacina 01.07.2010. u 04:31 · pre 198 meseci #17

Moja greška (da mi Farenhajt ne zaplače):

Ovo "deljenje" rešava sve jednačine oblika:

a*sin(x) + b*cos(x) = c

Plankova konstanta je koren(a^2 + b^2).

Cilj mi je bio da autora zadatka "usmerim" na pravi put, a ne na "trage-frange" metode.
Za navedeni oblik jednačina , deljenje sa Plankovom konstantom, nije "trange-frange" metoda.
Pošto nema kvadriranja, čak je i bolja, jer se rešenja ne moraju proveravati naknadno.
Isto je moglo biti objašnjeno autoru zadatka.
Bilo bi i meni jasno i ne bih ga "usmeravao".

Ja sam napamet znao kako se rešavaju 4 kombinacije za (a,b) = (1, koren(3)) ili ((koren(3),1) ili (1,1) ili (koren(2), koren(2)).
Drugi zadatak sa (a,b) = (1,1) sam znao napamet.
Treći sa (a,b) = (2,3) nisam znao da uradim, na ovaj način bez kvadriranja, i zato sam i izmislo "Plankovu konstantu".
Mislio sam da ne može i da pije vodu samo za nabrojane slučajeve.

Bojane, Gorane - svaka čast.

Mokelet: posle kvadriranja moraš proveriti sva rešenja jer ne dobijaš ekvivalentnu jednačinu. 3*pi/2 ne zadovoljava jednačinu.
Već ti je Farenhajt sugerisao na to.

Re: Trigonometrijska jednacina 01.07.2010. u 08:19 · pre 198 meseci #18

2sinx + 3cosx = 1
9cos²x = 1 - 4sinx + 4sin²x

Pa može da se reši kao kvadratna jednačina.

Re: Trigonometrijska jednacina 01.07.2010. u 08:56 · pre 198 meseci #19

Može i kao kvadratna jednačina.
Pošto iz prve samo sledi (a nije joj ekvivalentna) druga jednačina, onda sva rešenja moraju da se proveravaju.

Re: Trigonometrijska jednacina 01.07.2010. u 09:45 · pre 198 meseci #20

To je tačno.

Samo ipak smatram da srednješkolci ne treba da bubaju napamet tablicu vrednosti trigonometrijskih funkcija.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme