Problem s eksponentima

Problem s eksponentima 17.06.2010. u 14:14 · pre 199 meseci #1

Ako su $a,b,c$ pozitivni realni brojevi, ispitati da li važi $ab^c=bc^a=ca^b\iff a=b=c$

1

Re: Problem s eksponentima 17.06.2010. u 19:33 · pre 199 meseci #2

Samo da proverim — prema prednosti operacija, pretpostavku čitamo kao $a(b^c)$ itd.?

Potpis

Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.

Re: Problem s eksponentima 17.06.2010. u 19:58 · pre 199 meseci #3

Ja ću da rešim ovaj (<=) smer:

a=b=c => ab^c = ab^c = ab^c

Re: Problem s eksponentima 17.06.2010. u 21:31 · pre 199 meseci #4

Citat:

Bojan Basic: Samo da proverim — prema prednosti operacija, pretpostavku čitamo kao $a(b^c)$ itd.?

Upravo tako. Varijanta $(ab)^c=(bc)^a=(ca)^b$ "odokativno" deluje kao nešto lakša, ali može i ona da se uradi za zagrevanje.

Citat:

holononi: Ja ću da rešim ovaj (<=) smer:

a=b=c => ab^c = ab^c = ab^c

Zadivljujuće!

Re: Problem s eksponentima 17.06.2010. u 23:16 · pre 199 meseci #5

Dobro malo sam se našalio. Ali u čemu je kvaka kod ovog zadatka? Za njegovo rešavanje nije potrebna nikakva teorija. Šta spremaš prijemni?

Re: Problem s eksponentima 18.06.2010. u 11:07 · pre 199 meseci #6

Pa ok, ako je trivijalan, prezentiraj nam svoje rešenje u dva reda.

Re: Problem s eksponentima 18.06.2010. u 12:11 · pre 199 meseci #7

Ako je $a=1$ , onda je $b^c=bc=c$ , pa je $b=c=1$ . Ako je $a=b\neq 1$ , onda je $a^{c+1}=ac^a=ca^a$ , pa je zbog $c^{a-1}=a^{a-1}$ opet $c=a$ . Stoga možemo pretpostaviti da je $a\neq 1$ i $a\neq b$ .

Iz $bc^a=ca^b$ zaključujemo da je $c=\left(\frac{a^b}{b}\right)^{\frac 1{a-1}}$ , pa treba dokazati da je $\frac{ab^{\left(\frac{a^b}{b}\right)^{\frac 1{a-1}}}}{b\left(\frac{a^b}{b}\right)^{\frac a{a-1}}}\neq 1$ .

Funlcija $f_a(x)=\frac{ax^{\left(\frac{a^x}{x}\right)^{\frac 1{a-1}}}}{x\left(\frac{a^x}{x}\right)^{\frac a{a-1}}}$ zadovoljava jednakost $f_a(a)=1$ . Treba još "samo" dokazati da je monotona i zadatak je rešen.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem s eksponentima 20.06.2010. u 23:24 · pre 199 meseci #8

Ako se podje od tačke (a, b, c) = (1, 1, 1) koja je rešenje i posmatra priraštaj promenljivih tada

a₁ = a + h, h > 0 proizvoljno malo

Tada ab^c raste linearno
bc^a raste eksponencijalno
ca^b raste kao stepena funkcija.

Da bi važila jednakost ove priraštaje treba kompenzovati i to tako da svaki član ima isti priraštaj.

Zato b₁ = b + h, c₁ = c + h, odnosno a₁ = b₁ = c₁. Isto i za h < 0 samo što tada članovi opadaju.

Kako su svi članovi po uslovu zadatka neprekidne funkcije nema drugih rešenja.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 01:09 · pre 199 meseci #9

Ala ti je argument!

Citat:

holononi: Zato b₁ = b + h, c₁ = c + h, odnosno a₁ = b₁ = c₁.

Odakle ti jednakost priraštaja promenljivih?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 06:50 · pre 199 meseci #10

Samo jednakost priraštaja svih promenljivih održava jednakost svih članova.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 10:12 · pre 199 meseci #11

Dokaži.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 13:46 · pre 199 meseci #12

Ako ti koristiš monotonost koju nisi dokazao zašto ja moram da dokazujem?

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 14:18 · pre 199 meseci #13

Ja sam lepo napisao da ostaje da se dokaže monotonost. Bez toga rešenje nije kompletno, kao ni tvoje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 14:37 · pre 199 meseci #14

A šta treba dokazati u mom rešenju?

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 15:17 · pre 199 meseci #15

Pa, to što tvrdiš

Citat:

holononi: Samo jednakost priraštaja svih promenljivih održava jednakost svih članova.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 16:12 · pre 199 meseci #16

@holononi:
Priraštaji nisu jednaki u opštem slučaju.

Ponovi Analizu 2, funkcije više promenljivih.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 17:48 · pre 199 meseci #17

Ako priraštaji nisu jednaki tada postoji tačka (a, b, c), a <> b <> c <> a koja zadovoljava uslove zadatka. Ne budi ti teško pa nam navedi tu tačku.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 18:06 · pre 199 meseci #18

Gde piše da ta tačka, koja zadovoljava levu stranu implikacije $ab^c=bc^a=ca^b$ , a koja je uzgred

$\input amstex $$(a, b, c),\quad a, b, c\in\pmb{\hbox{R}}$$ \bye$ ,

mora da pripada pravoj $x=y=z$ ?

Dakle, da preformulišem ono što treba dokazati:

$\input amstex $$\exists (a, b, c)\in\pmb{\hbox{R}}^3\quad f(a, b, c)=g(a, b, c)=h(a, b, c)\;\Longrightarrow\;a=b=c$$ \bye$ , $\input amstex $$f, g, h\in \pmb{\hbox{R}}^{\pmb{\hbox{R}}^3}\land f(a, b, c):=ab^c, \dotsc$$ \bye$ ?

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 18:11 · pre 199 meseci #19

Ja se prep'o, zavlačim se pod ormar da promadjem sve knjige i sveske iz analize 2 a ti ni zadatak nisi pročitao.

Re: Problem s eksponentima 21.06.2010. u 18:12 · pre 199 meseci #20

Kako nisam, pa ti si dokazao lakši deo ekvivalencije. Ovo je teži.

DODATAK: Uzgred, mislim da taj deo uopšte ne važi u opštem slučaju. :-/

Znači, dokazuje se negacija: $f(a, b, c)=g(a, b, c)=h(a, b, c)\land a\neq b\neq c$ .

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme