Jedan zadatak iz kvantne mehanike

Jedan zadatak iz kvantne mehanike 21.09.2008. u 15:29 · pre 220 meseci #1

ZAD
Elektron se nalazi u potencijalu oblika $V(r)=0,r<R$ , $V(r)=\infty,r>R$ a normirana radijalna fja stanja zadovoljava granicne uslove

$[r\psi(r)]_{r=0}=[r\psi(r)]_{r=R}=0$

a) Odrediti energijski spektar ove cestice
b) Odrediti verovatnocu da se cestica posle merenja energije nadje u stanju sa kvantnim brojem $n$ ako se pre merenja nalazila u stanju $\varphi(r)=\frac{C}{r}e^{-pr},p>0, C$ -konstanta normiranja.

RES:
Ovde se cestica zapravo nalazi u "probusenom" krugu. Ovde se ustvari ovo $\psi(r)=\frac{R(r)}{r}$ i dobije se onaj jednodimenzioni problem sa "centrifugalnom barijerom" za $V=0$ . Tj.

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2R}{dr^2}+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}R=ER$
i odavde odredim energetski spektar? Jel tako?
Kako pod b)?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Jedan zadatak iz kvantne mehanike 24.09.2008. u 09:40 · pre 220 meseci #2

ZAD
Sistem se nalazi u stanju opisanom fjom $\psi(\vec{r})=(x^4-y^4)f(x^2+y^2+z^2)$ . Merimo vrednosti $z$ -komponente momenta impulsa $\hat{l}_z$ . Koje vrednosti mozemo dobiti kao rezultate pojedinacnih eksperimenata, a kolika ce biti srednja vrednost velikog broja merenja (ocekivana vrednost)?

RES:
Izrazim talasnu fju u sfernim koordinatama kao i operator $z$ komponente orbitalnog momenta. I onda sa tim operatorom $-i\hbar\partial_\phi$ oddelujem na $\psi$ i dobijem nesto sto mnozi $e^{i2\phi}-e^{-2i\phi}$ puta nesto... I odatle zakljucujem da je $m_1=2, m_2=-2$ i stoga $<\hat{l}_z>=0$ .

Jel ovo OK.? Moze li obrazlozenje ovog?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Jedan zadatak iz kvantne mehanike 27.09.2008. u 21:01 · pre 220 meseci #3

Citat:

petarm:
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2R}{dr^2}+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}R=ER$
i odavde odredim energetski spektar? Jel tako?
Kako pod b)?

Da.

Citat:

petarm:
Kako pod b)?

Skalarni proizvod stanja koje odgovara energiji $E_n$ sa stanjem $\phi$

Citat:

petarm: ZAD
Izrazim talasnu fju u sfernim koordinatama kao i operator $z$ komponente orbitalnog momenta. I onda sa tim operatorom $-i\hbar\partial_\phi$ oddelujem na $\psi$ i dobijem nesto sto mnozi $e^{i2\phi}-e^{-2i\phi}$ puta nesto... I odatle zakljucujem da je $m_1=2, m_2=-2$ i stoga $<\hat{l}_z>=0$ .

Jel ovo OK.? Moze li obrazlozenje ovog?

Jeste. Ono što prvo moraš uraditi je da razložiš $\psi(\vec{r})$ na svojstvene vektore operatora $\hat{l}_z$ , a to su $\psi_m(\phi)=e^{im\phi}$ što je lagano jer $\psi(\vec{r})=r^4 \sin^4\theta\cos 2\phi f(r^2)=(e^{2i\phi}+e^{-2i\phi})g(r, \theta)$ . Dakle, stanje je linearna kombinacija svojstvenih stanja za m=2 i m=-2, pri čemu uz oba stanja stoje jednaki koeficijenti, što znači da će se očekivana vrednost u ovom stanju anulirati jer $\langle l_z \rangle =\int d^3\vec{r} \psi^*(\vec{r})\hat{l_z}\psi(\vec{r})=\sum_{mn}c_m c_n\int d\phi\psi_m^*(\phi)\hat{l}_z\phi_n(\phi)=c\sum_{mn}(l_z)_n\int d\phi \psi_m^*(\phi)\psi_n(\phi)=c\sum_{mn}(l_z)_n\delta_{mn}=c\sum_m(l_z)_m=c(-2\hbar+2\hbar)=0$

Re: Jedan zadatak iz kvantne mehanike 27.09.2008. u 21:36 · pre 220 meseci #4

Umesto ovog tvog poslednjeg koraka zapravo mogu reci

$|e^{2i\phi}|^2=|e^{-2i\phi}|^2$

i stoga $<\hat{l}_z>=0$

Hvala ti na odgovoru!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Jedan zadatak iz kvantne mehanike 27.09.2008. u 21:41 · pre 220 meseci #5

I kako ti definises oznaku $(\hat{l}_z)_n$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Jedan zadatak iz kvantne mehanike 28.09.2008. u 12:20 · pre 220 meseci #6

Citat:

petarm: I kako ti definises oznaku $(\hat{l}_z)_n$ ?

$\hat{l}_z \psi_m=(l_z)_m\psi_m$

Re: Jedan zadatak iz kvantne mehanike 28.09.2008. u 13:31 · pre 220 meseci #7

Ok.

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Jedan zadatak iz kvantne mehanike 28.09.2008. u 15:04 · pre 220 meseci #8

Nisam se bas dovoljno zagledao u taj izraz sto si pisao, jer sam morao da drndam roler posto se nije video odmah ceo, a ja uvek pisem $m\hbar$ verovatno zato sto je to jednako brzo ako ne i brze napisati od $(l_z)_m$ .

Citat:

petarm: Umesto ovog tvog poslednjeg koraka zapravo mogu reci

$|e^{2i\phi}|^2=|e^{-2i\phi}|^2$

i stoga $<\hat{l}_z>=0$

Hvala ti na odgovoru!

A jel ovo OK. nacin?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme