Zanimljivi zadaci - elegantna resenja

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 21:32 · pre 222 meseci #41

Citat:

igorpet: Da li ja negde gresim ili si ti Nedeljko negde napravio previd?

Nedeljko je napravio previd znaka minus pod korenom. Neka su $a,b,c$ realni brojevi, pri čemu je $a\neq 0$ . Da bi podintegralna funkcija u kojoj se pojavljuje $\sqrt{ax^2+bx+c}$ bila definisana na bar jednom intervalu, funkcija $ax^2+bx+c$ mora imati pozitivnu vrednost u bar jednoj tački, koju ćemo označiti sa $x_0$ . Nadalje će $R$ biti racionalna funkcija dve promenljive sa realnim koeficijentima, koja je definisana u bar jednoj tački realne ravni.

Razmotrimo problem svođenja integrala $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx$ na integral racionalne funkcije.

Ako je $c>0$ , onda se može koristiti druga Ojlerova smena: $\sqrt{ax^2+bx+c}=xt+\sqrt{c}$ , $x=\frac{2t\sqrt{c}-b}{a-t^2}$ , $dx=\frac{2xt+\sqrt{c}}{a-t^2}$ . Pomenuću i da je druga Ojlerova smena dovoljna za svođenje svakog integrala ovakvog tipa (bez obzira na znak broja $c$ ) na integral racionalne funkcije, jer se nakon smene $x=u+x_0$ dobija integral na koji se može primeniti druga Ojlerova smena.

Ako je $a>0$ , onda se može koristiti prva Ojlerova smena $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}x+t$ , $x=\frac{t^2-c}{b-2\sqrt{a}t}$ , $dx=\frac{2(t+\sqrt{a}t)}{b-2\sqrt{a}t}\,dt$ .

Ako je $b^2>4ac$ , to jest polinom $ax^2+bx+c$ ima dve realne nule, koje ćemo označiti sa $x_1$ i $x_2$ , recimo $x_1<x_2$ , onda se može koristiti treća Ojlerova smena $\sqrt{ax^2+bx+c}=(x-x_1)t$ , $x=\frac{t^2x_1+x_2}{t^2+a}$ , $dx=\frac{2t(x_1-x)}{t^2+a}$ .

U svakom slučaju, iracionalnost $\sqrt{ax^2+bx+c}$ se uvek može linearnom smenom svesti na tačno jedan od sledeća tri oblika: $\sqrt{x^2+1}$ , $\sqrt{x^2-1}$ i $\sqrt{1-x^2}$ . U prvom slučaju se mogu koristiti smene $x=\tan t$ , $x=\tan^{-1}t$ i $x=\sinh t$ . U drugom slučaju se mogu koristiti smene $x=\sin^{-1}t$ , $x=\cos^{-1}t$ i $x=\cosh t$ . U trećem slučaju se mogu koristiti smene $x=\sin t$ , $x=\cos t$ . Na taj način se dobijaju integrali koji se standardnim smenama svode na integrale racionalnih funkcija.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 23.07.2008. u 22:23 · pre 222 meseci #42

Citat:

h4su: Meni je ova smjena interesantna x=acos²t+bsin²t

Smena jeste interesantna i prilicno je neocigledna, a ima i da se radi dok se ne uprosti.
Interesantnije bi bilo da je to jedina moguca smena, ovako kada moze mnogo jednostavnije gubi se poenta, ali je ipak OK.

Nedeljko, bas si se iskupio za onaj minus

. Nisam ni sumnjao da sve ovo znas, nisi morao da se opterecujes ovolikim kucanjem, ali siguran sam da ce ovo nekome koristiti.

Ja za Ojlerovim smenata potezem samo kada ne moze drugacije, a ovde je bilo dovoljno kvadratni trinom dovesti na kanonicni oblik i primeniti klasicnu i logicnu smenu.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 24.07.2008. u 08:25 · pre 222 meseci #43

Iracionalnosti tipa $\sqrt{1-x^2}$ se mogu eliminisati i smenom $x=\cosh^{-1}t$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 24.07.2008. u 11:09 · pre 222 meseci #44

Citat:

h4su: Meni je ova smjena interesantna x=acos²t+bsin²t.

Jos "interesantnija" je smena $t=2\arctan\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}$ , kojom se integral svodi na $\int dt$ . Tako mozes jednom smenom "resiti" bilo koji integral kada znas resenje.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 24.07.2008. u 13:00 · pre 222 meseci #45

Citat:

Nedeljko: Jos "interesantnija" je smena $t=2\arctan\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}$ , kojom se integral svodi na $\int dt$ . Tako mozes jednom smenom "resiti" bilo koji integral kada znas resenje.

Pa Nedeljko x=acos²t+bsin²t je u stvari $t=2\arctan\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}$
To je ista ta smena

U stvari x=acos²t+bsin²t je $t=\arctan\sqrt{\frac{x-a}{b-x}}$ i samo je pitanje da li ce integral biti $\int dt$ ili $2\int dt$

_{[Ovu poruku je menjao igorpet dana 24.07.2008. u 14:16 GMT+1]}

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 24.07.2008. u 14:04 · pre 222 meseci #46

Nedeljko ne znam sto si se uhvatio te smjene toliko,jel ti nesto narocito smeta ili sta.Nekome co ovo sto si napisao koristiti i to je to.Drugi zadatak je "interesantniji" kad ste se uhvatili toga a za njega ne znam rjesenje pa ne znam ni "smjenu".

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 24.07.2008. u 14:38 · pre 222 meseci #47

Citat:

h4su: Drugi zadatak je "interesantniji" ... ne znam rjesenje pa ne znam ni "smjenu".

Citat:

Konstruisati kružmicu kojoj je centar na datoj pravi a iz date dvije tacke križnica se vidi pod datim uglovima.

Cudan neki integral, ... sa kružmicom

Mora i da je neka jako interesantna smena.
Da znam resenje sigurno bih ga napisao, a ovako malo me mrzi da se udubljujem u problem, pa sam siguran da ce to neko ko zna iz prve

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 24.07.2008. u 15:50 · pre 222 meseci #48

@h4su

Ma, ne smeta mi nista, samo sam hteo da pokazem kako "moc smene" moze da zavara.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 31.07.2008. u 12:33 · pre 221 meseci #49

Evo jednog zadatka za ljubitelje matematike sa viškom slobodnog vremena:

Dokazati da za svaki prirodan broj $n$ važi

$\arctan\frac 1n=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\left(\frac{4}{(n+1)^{4}}\right)^k\left(\frac 1{(n+1)(4k+1)}+\frac 2{(n+1)^2(4k+2)}+\frac 2{(n+1)^3(4k+3)}\right)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Zanimljivi zadaci - elegantna resenja 01.08.2008. u 18:00 · pre 221 meseci #50

Evo slicnog zadatka

Ako su $A,B$ kvadratne matrice istog reda pokazi da vazi relacija

$e^{\alpha A}Be^{-\alpha A}=B+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{\alpha^n}{n!}[A,[A,[A...[A,B]...]_{n puta}$

gde je

$[A,B]=AB-BA$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Srodne teme