Kultni zadatak koji ne mogu da resim

Kultni zadatak koji ne mogu da resim 12.10.2005. u 09:15 · pre 256 meseci #1

Zamolio bih vas da mi pomognete u rešavanju ovog problema
X na X na X na X i tako u bekonacnost da je jednako 2.Da li ovaj monstrum
od zadatka uopste i ima rešenje? Dobio sam informaciju da je to kvadratni koren od
dva,ali ne bih rekao sa je to rešenje.

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 12.10.2005. u 13:02 · pre 256 meseci #2

Neka je $x$ bilo koji realan pozitivan broj.
Definišemo niz $y_1:=x$ i $\displaystyle y_n:=x^{y_{n-1}}$ (za $n>1$ ).
Onda se zadatak svodi na pitanje, za koje realno $x$ važi:
$\displaystyle\lim_{n\to \infty} y_n=2$ .
Ako takvo $x$ postoji, dokazaćemo da je ono jednako $\sqrt 2$ .

Kako je $\ln y_n=y_{n-1}\ln x$ ,
imamo da važi:
$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\ln y_n=\lim_{n\to \infty}y_{n-1}\ln x$ ,
pa na osnovu neprekidnosti logaritamske funkcije i uslova zadatka važi i
$\ln 2=2\ln x$ , odakle dobijamo da je $x=\sqrt 2$ .

(Jasno je da se u zadatku, broj 2 može zameniti bilo kojim pozitivnim realnim brojem npr. $a$ , s tim da je onda rešenje $x=a^{\frac{1}{a}}$ )

Napomenuo bih da upotreba logaritamske f-je nije ključna tj. da se uz iste pretpostavke moglo i direktno doći do istog zaključka, ali uz korišćenje neprekidnosti stepene f-je, pa pošto je uobičajano da se ova poslednja f-ja definiše preko logaritamske, odlučio sam se za logaritmovanje...

Očigledno je da egzistencija rešenja nije dokazana, pa pokušaj to prvo sam.

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 12.10.2005. u 14:18 GMT+1]}

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 13.10.2005. u 14:11 · pre 256 meseci #3

Pripazi samo na činjenicu da je $2^{\frac 12}=4^{\frac 14}.$

Neka je $1<x\leq\sqrt{2}.$ Tada je $y_1=x<x^x=y_2=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}<\sqrt{2}^2=2.$ Sada se indukcijom dokazuje da je niz $y_n$ rastući i da je odozgo ograničen sa $2,$ pa je konvergentan. Za njega važi da je $x^{\lim_{n\rightarrow+\infty}y_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}y_{n+1},$ , pa za njegov limes $y$ važi $y\ln x=\ln y.$ Za $x=\sqrt{2}$ je $y=2$ jedno rešenje. Na ovde interesuju samo rešenja u intervalu $[x,2]=[\sqrt{2},2]$ Na tom intervalu je funkcija $f(y)=y\ln\sqrt{2}-\ln y$ monotona, pa ne može imati više od jedne nule.

Broj $2$ se mogao zameniti sa bilo kojim brojem u intervalu $[\frac 1e,e]$ , ali se nije mogao zameniti sa $3$ jer bi se za $x=\sqrt[3]{3}$ dobio niz $y_n$ koji bi konvergirao ka broju $a\in[1,e]$ takvom da je $a^{\frac 1a}=\sqrt[3]{3}.$

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 24.02.2006. u 11:17 · pre 251 meseci #4

A da li može ovako:

pretpostavimo da je a=((...x**x)**x)**x..... za vrlo velik broj stepenovanja. Ako a stepenujemo još jednom, t.j. b=a**x, tada mora biti b=a, pod uslovom da cela stvar konvergira. Ili, a**x=a. Ovo će biti tačno samo ako je x=1.

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 24.02.2006. u 11:22 · pre 251 meseci #5

A takođe i ako je x=0.

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 24.02.2006. u 13:17 · pre 251 meseci #6

A evo i male glavlomke za preko vikenda: Zašto Uraniusovo rešenje x=sqr(2) (koren iz dva) nije tačno? Ako pokušate da računate dobićete sledeću tabelu:

Iteracija: 1 x^x:1.63252691943815
Iteracija: 2 x^x:2
Iteracija: 3 x^x:2.66514414269023
Iteracija: 4 x^x:4
Iteracija: 5 x^x:7.10299330131602
Iteracija: 6 x^x:16
Iteracija: 7 x^x:50.4525138385403
Iteracija: 8 x^x:256.000000000001
Iteracija: 9 x^x:2545.4561526281
Iteracija: 10 x^x:65536.0000000006
Iteracija: 11 x^x:6479347.02495228
Iteracija: 12 x^x:4294967296.00009
Iteracija: 13 x^x:41981937869758.1
Iteracija: 14 x^x:1.84467440737104E+19
Iteracija: 15 x^x:1.76248310730025E+27
Iteracija: 16 x^x:3.40282366920975E+38
Iteracija: 17 x^x:3.10634670351879E+54
Iteracija: 18 x^x:1.15792089237344E+77
Iteracija: 19 x^x:9.64938984246241E+108
Iteracija: 20 x^x:1.34078079299496E+154
Iteracija: 21 x^x:9.3110724331823E+217

iz koje se vidi da proces ne konvergira. ( a kada je a<1, npr. x=0.5**2, ceo proces konvergira ka 1).

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 24.02.2006. u 13:46 · pre 251 meseci #7

Zato sto si zanemario da je stepenovanje desno asocijativno :).

Ti si sigurno napisao nesto kao :

Code:

double x = M_SQRT2;
while(1)
{
printf("%1.15f\n", x);
x = pow(x, x);
}

A treba ipak:

Code:

  double x = M_SQRT2;
  while(1)
  {
    printf("%1.15f\n", x);
    x = pow(M_SQRT2, x);
  }

Dakle a^b^c je u stvari a^(b^c) a ne (a^b)^c. Cak se prica da Wirth nije ubacio stepenovanje u pascal zbog moguce neracionalne primene i zbog toga sto je jedina desno asocijativna (pa bi bunila ljude).

Potpis

CHUPCKO

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 24.02.2006. u 13:56 · pre 251 meseci #8

I kakva se onda dobije tabela?

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 24.02.2006. u 14:03 · pre 251 meseci #9

Prvih 75 iteracija $a_0=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2}^{a_n}$ izgleda ovako:

1.41421356
1.63252692
1.76083956
1.84091087
1.8927127
1.9269997
1.95003477
1.96566489
1.97634175
1.9836684
1.98871177
1.99219088
1.99459445
1.99625667
1.997407
1.99820348
1.99875513
1.99913731
1.99940212
1.99958562
1.9997128
1.99980094
1.99986202
1.99990436
1.99993371
1.99995405
1.99996815
1.99997792
1.9999847
1.99998939
1.99999265
1.9999949
1.99999647
1.99999755
1.9999983
1.99999882
1.99999918
1.99999943
1.99999961
1.99999973
1.99999981
1.99999987
1.99999991
1.99999994
1.99999996
1.99999997
1.99999998
1.99999999
1.99999999
1.99999999
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0

(Čujem neku klepetušu u daljini...

)

Re: Kultni zadatak koji ne mogu da resim 24.02.2006. u 14:09 · pre 251 meseci #10

Tako je, svaka čast! Dodatak za Farenhajta: Pričuvaj kokice, ptičji grip nam se približava!

_{[Ovu poruku je menjao Lobacev dana 24.02.2006. u 15:24 GMT+1]}

Srodne teme