[es] - Limes u prostoru distribucija

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
89.216.74.*

Profil

^{15.04.2008. u 14:00}

Ako neko ne zna teoriju distribucija, moze i ovako:

Neka je

realna funkcija realne promenljive, koja je definisana na celom skupu realnih brojeva, beskonacno diferencijabilna na celom domenu i takva da postoji konacan interval van kojeg je jednaka nuli. Izracunati

u zavisnosti od zadate funkcije

Nedeljko Stefanovic

^{15.04.2008. u 14:00}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
89.216.74.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{16.04.2008. u 10:04}

Ima li sanse da neko uradi ovaj zadatak, posto ja nisam uspeo sta god da sam pokusavao?

Nedeljko Stefanovic

^{16.04.2008. u 10:04}

Fitopatolog
Dušan Marjanov
Novi Sad

Član broj: 90936
Poruke: 320
*.nis-naftagas.co.yu.

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{16.04.2008. u 11:11}

Nedeljko, šta ti ovde označava epsilon?

Bolje prirodna glupost nego veštačka inteligencija.

^{16.04.2008. u 11:11}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
89.216.74.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{16.04.2008. u 11:28}

Izvinjavam se, moja je greska. Treba izracunati

u zavisnosti od zadate funkcije

Nedeljko Stefanovic

^{16.04.2008. u 11:28}

Fitopatolog
Dušan Marjanov
Novi Sad

Član broj: 90936
Poruke: 320
*.nis-naftagas.co.yu.

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{16.04.2008. u 15:25}

Da nije možda sin(x/e) ustvari Si(x/e) - integralni sinus?

Bolje prirodna glupost nego veštačka inteligencija.

^{16.04.2008. u 15:25}

Fitopatolog
Dušan Marjanov
Novi Sad

Član broj: 90936
Poruke: 320
79.101.223.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{16.04.2008. u 18:01}

primenom parcijalne integracije, stavljajući

u=f(x)
dv=sin(x/e) d(x/e) / (x/e)
d je diferencijal

dobija se rešenje

f(x) D(x) Pi -f '(0) Pi

D je delta funkcional,

prvi član je nula (kada se uvrsti gornja i donja granica), tako da je konačan rezultat

- f '(0) Pi

------------------------

p.s. Da li treba dokazati i da je

integral ( sin(x/e) d(x/e) / (x/e)) od -beskonačno do x = D(x) kada e teži 0?

_{[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 16.04.2008. u 22:17 GMT+1]}

_{[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 16.04.2008. u 22:19 GMT+1]}

_{[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 16.04.2008. u 22:27 GMT+1]}

Bolje prirodna glupost nego veštačka inteligencija.

^{16.04.2008. u 18:01}

Fitopatolog
Dušan Marjanov
Novi Sad

Član broj: 90936
Poruke: 320
79.101.223.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{16.04.2008. u 22:48}

Prethodni račun nije dobar. Treba

sin(x/e) / x = D(x) Pi kada e teži 0,

pa je rezultat f(0) Pi

_{[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 17.04.2008. u 09:06 GMT+1]}

Bolje prirodna glupost nego veštačka inteligencija.

^{16.04.2008. u 22:48}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
89.216.74.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{17.04.2008. u 10:36}

Hajde, ako ti nije tesko, napisi ceo racun, posto ideju sa tvojom prcijalnom integracijom nisam uspeo da kompletiram.

Nedeljko Stefanovic

^{17.04.2008. u 10:36}

Fitopatolog
Dušan Marjanov
Novi Sad

Član broj: 90936
Poruke: 320
79.101.223.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{17.04.2008. u 20:43}

Huh, naterao si me da uzmem papir i olovku, rezultat je u attachmentu.

Bolje prirodna glupost nego veštačka inteligencija.

Prikačeni fajlovi

Racun.jpg - 176.31k

^{17.04.2008. u 20:43}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
89.216.74.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{18.04.2008. u 11:05}

Prihvatam da je

. Smena je

, kao i da je

, gde je

Hevisajdova funkcija. No, nejasna je jednakost

Ne prihvatam nikakvu Dirakovu "funkciju"

, jer u integralnom računu se dokazuje da takva funkjcija ne postoji. Prihvatam Dirakovu generalisanu funkciju, to jest Dirakovu distribuciju

, ali se ona ne može naći pod integrealom. Umesto toga treba koristiti dejstvo distribucije na test funkciju. No, čak i kada se na taj način gornja jednakost prevede, ona postaje jednakost

koja mi takođe nije jasna. Drugo rešenje nije prihvatljivo, jer iz

nikako ne sledi

jer ne važi

već

a to nije isto. Takođe limesom se ne može ući pod integral u opštem slučaju, već treba proveriti da li su ispunjeni uslovi pod kojima se takav prelaz može napraviti.

Nedeljko Stefanovic

^{18.04.2008. u 11:05}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
89.216.74.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{18.04.2008. u 14:02}

Uspeo sam da uradim zadatak. Prvo, parcijalnom integracijom se dobija da je

. Smenom

dobija se da je

. Parcijalnom integracijom (

to je dalje jednako

. Funkcija

je ogranicena kao neprekidna funkcija sa kompaktnim nosacem (koji je isti kao i za

. Stoga postoji

za koje je

. No, odatle je

, pa posto je

po Lebegovom stavu o dominantnoj konvergenciji mozemo uci limesom pod integral, pa je konacno

Znaci,

Nedeljko Stefanovic

^{18.04.2008. u 14:02}

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 997
*.mgnet.co.yu.

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{18.04.2008. u 20:14}

Vratim ovo u gornji izraz i dobijem

Odavde se vidi da izraz u srednjoj zagradi anulira integraciju po

i integracionu promenljivu zamenjuje slobodnom promenljivom

. A ovu osobinu ima

funkcija. Pa je prema tome

Ovako to rade fizicari

Ima dosta pretpostavki. Prva je da vazi Fubini...

Zanima me tvoje misljenje. Ipak rezultat je tacan!

^{18.04.2008. u 20:14}

Fitopatolog
Dušan Marjanov
Novi Sad

Član broj: 90936
Poruke: 320
79.101.223.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{18.04.2008. u 20:54}

Da pokušamo da napravimo reda u terminologiji:

- funkcional je preslikavanje skupa funkcija A na skup brojeva

- <g,f> je takođe funkcional koji uređenu dvojku funkcija (g,f) iz proizvoda skupova funkcija A X A preslikava na skup brojeva. U našem slučaju funkcional je INTEGRAL.

- specijalna klasa funkcija D (D je podskup A) ima važnu osobinu da je (i dalje zadržavamo kao funkcional integral)
<d,f> = f(0) ; d pripada D
abs(d) = 0 za abs(x) > e, e teži 0

bilo kog predstavnika klase D zovemo delta-funkcija.

Bolje prirodna glupost nego veštačka inteligencija.

^{18.04.2008. u 20:54}

Fitopatolog
Dušan Marjanov
Novi Sad

Član broj: 90936
Poruke: 320
79.101.223.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{18.04.2008. u 21:34}

delta f-ja se (između ostalih sličnih načina) može dobiti i kao

d(x) = k*exp(-k*x) za x>=0 i k teži 0+

Bolje prirodna glupost nego veštačka inteligencija.

^{18.04.2008. u 21:34}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
195.222.97.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{18.04.2008. u 22:28}

@petarm

Za

integral

divergira.

@Fitopatolog

Pojam integrala, onakvog kakav je danas u upotrebi, definisao je Anri Lebeg. U Lebegovoj teoriji integracije lako se dokazuje sledeća teorema:

Ne postoji nijedna funkcija

takva da za svako

važi

.

Distribucija je svaki linearni funkcional

koji slika skup

u skup realnih brojeva takav da važi

kad god sve test funkcije

imaju zajednički kompaktan nosač i

teži uniformno ka

po svim izvodima.

Lokalno integrabilnoj funkciji

pridružuje se distribucija koja se obeležava istim simbolom, definisana kao

. No, to je samo jedan od načina da se zada distribucija i takve distribucije (zadate integralom) zovemo regularnim.

Dirakova distribucija se definiše sa

i ona nije regularna (u tom se slučaju kaže da je singularna), to jest, ne može se zadati integralom. Upravo o tome govori prethodna teorema.

Nedeljko Stefanovic

^{18.04.2008. u 22:28}

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 997
*.mgnet.co.yu.

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{18.04.2008. u 23:22}

Citat:

Nedeljko:
Lokalno integrabilnoj funkciji

pridružuje se distribucija koja se obeležava istim simbolom, definisana kao

. No, to je samo jedan od načina da se zada distribucija i takve distribucije (zadate integralom) zovemo regularnim.

Dirakova distribucija se definiše sa

i ona nije regularna (u tom se slučaju kaže da je singularna), to jest, ne može se zadati integralom. Upravo o tome govori prethodna teorema.

Da li je Hevisajdova fja regularna distribucija? Mozes li to prokomentarisati na ovom primeru?

Citat:

Nedeljko:@Fitopatolog

Pojam integrala, onakvog kakav je danas u upotrebi, definisao je Anri Lebeg. U Lebegovoj teoriji integracije lako se dokazuje sledeća teorema:

Ne postoji nijedna funkcija

takva da za svako

važi

Mozes li ovo pokazati?

Citat:

Nedeljko: @petarm

Za

integral

divergira.

Mozes li objasniti zasto ja radeci "pogresno" dobijam dobar rezultat?

^{18.04.2008. u 23:22}

Fitopatolog
Dušan Marjanov
Novi Sad

Član broj: 90936
Poruke: 320
79.101.223.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{19.04.2008. u 08:31}

Citat:

Nedeljko: @petarm

Pojam integrala, onakvog kakav je danas u upotrebi, definisao je Anri Lebeg. U Lebegovoj teoriji integracije lako se dokazuje sledeća teorema:

Ne postoji nijedna funkcija

takva da za svako

važi

Dobro, da li d(x,e), e teži 0 (iz naslova zadatka ili iz mog pretposlednjeg posta), možemo smatrati funkcijom?

Takođe, da li postoji bar jedna f-ja d(x) tako da gornji integral važi bar za NEKE funkcije fi?

_{[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 19.04.2008. u 10:38 GMT+1]}

Bolje prirodna glupost nego veštačka inteligencija.

^{19.04.2008. u 08:31}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
77.46.209.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{19.04.2008. u 10:33}

Hevisajdova funkcija je neprekidna u svim tackama osim u jednoj, u cijoj je okolini ogranicena, iz cega sledi da je lokalno integrabilna. Odatle sledi da ona indujuje je jednu regularnu distribuciju.

Citat:

petarm: Mozes li ovo pokazati?

Neka je

trazena funkcija i neka je segnemt

takav da ne sadrzi nulu. Neka je

. Skup

je merljiv, jer je funkcija

merljiva kao lokalno integrabilna. Stoga, za svako

postoji zatvoren skup

takav da je

. Taj skup je kao zatvoren i ogranicen kompaktan. Takodje, postoji otvoren skup

takav da je

. Bez umanjenja opstosti mozemo jos pretpostaviti da je

i da

. U knjizi "Parcijalne jednacine" Boska Jovanovica se moze naci primer funkcije

takve da je

.

Posto je

lokalno integrabilna funkcija, vazi

, pa posto je

skoro svuda, gde je

funkcija koja je jednaka jedinici u tackama skupa

,a u ostalim tackama je jednaka nuli, Lebegov stav o dominantnoj konvergenciji se moze primeniti, pa je

.

Sa druge strane je

,

sto je zbog lokalne integrabilnosti funkcije

za dovoljno veliko

manje od zadatog

. No, zajedno sa

odatle sledi da je

za dovoljno veliko

, pa je

. Posto je

proizvoljno, odatle sledi (zbog

) da je

.

Znaci, za svako

vazi da je

, pa je i skup

mere nula kao prebrojiva unija skupova mere nula. No, segment

je bio proizvoljan segment koji ne sadrzi nulu, pa posto je

prebrojiva unija takvih intervala, bice

skoro svuda na

, pa samim tim i na skoro svuda na

jer je jednoclan skup mere nula. Na slican nacin se moze dokazati i da je

skoro svuda, odakle je

skoro svuda za ma kakvu funkciju

odakle je

suprotno polaznoj pretpostavci.

Nedeljko Stefanovic

^{19.04.2008. u 10:33}

Nedeljko
Nedeljko Stefanovic

Član broj: 314
Poruke: 1946
77.46.209.*

Profil

Re: Limes u prostoru distribucija

^{19.04.2008. u 11:00}

Citat:

petarm: Mozes li objasniti zasto ja radeci "pogresno" dobijam dobar rezultat?

Prvo, matematika ti garantuje samo da ako radis dobro, da moras dobiti dobar rezultat. Ako radis pogresno, nema nikakvih garancija ni da ce rezultat biti dobar, ni da ce biti pogresan. Seti se istinitosne tablice implikacije. Iz tacnog sledi samo tacno, a iz netacnog slede i tacno i netacno.

Drugo, tvoja ideja jeste dobra, i moze se "doterati" u formalno korektne vode. Zato i ne iznenadjuje cinjenica da si dobio tacan rezultat.

Citat:

Fitopatolog: Dobro, da li d(x,e), e teži 0 (iz naslova zadatka ili iz mog pretposlednjeg posta), možemo smatrati funkcijom?

Takođe, da li postoji bar jedna f-ja d(x) tako da gornji integral važi bar za NEKE funkcije fi?

Rekao bih da kod tvojeg d(x,k) treba k da ide u beskonacnost. No, nema veze. Na taj nacin dobijas limes u klasicnoj analizi koji je nula svuda van nule, pa kada se pomnozen bilo kojom funkcijom prointegrali daje nulu. Ako se limes radi u prostoru distribucija, granicna vrednost je Dirakova distribucija.

Za bilo koji konacan broj funkcija

postoji funkcija

takva da je

Nedeljko Stefanovic

^{19.04.2008. u 11:00}