Ume li neko da izracuna ovaj limes u prostoru distribucija ?

Ako neko ne zna teoriju distribucija, moze i ovako:

Neka je realna funkcija realne promenljive, koja je definisana na celom skupu realnih brojeva, beskonacno diferencijabilna na celom domenu i takva da postoji konacan interval van kojeg je jednaka nuli. Izracunati u zavisnosti od zadate funkcije .

Ima li sanse da neko uradi ovaj zadatak, posto ja nisam uspeo sta god da sam pokusavao?

Nedeljko, šta ti ovde označava epsilon?

Izvinjavam se, moja je greska. Treba izracunati u zavisnosti od zadate funkcije .

Da nije možda sin(x/e) ustvari Si(x/e) - integralni sinus?

primenom parcijalne integracije, stavljajući

u=f(x)
dv=sin(x/e) d(x/e) / (x/e)
d je diferencijal

dobija se rešenje

f(x) D(x) Pi -f '(0) Pi

D je delta funkcional,

prvi član je nula (kada se uvrsti gornja i donja granica), tako da je konačan rezultat

- f '(0) Pi

------------------------

p.s. Da li treba dokazati i da je

integral ( sin(x/e) d(x/e) / (x/e)) od -beskonačno do x = D(x) kada e teži 0?






<sub>[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 16.04.2008. u 22:17 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 16.04.2008. u 22:19 GMT+1]

[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 16.04.2008. u 22:27 GMT+1]</sub>

Prethodni račun nije dobar. Treba

sin(x/e) / x = D(x) Pi kada e teži 0,

pa je rezultat f(0) Pi

_{[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 17.04.2008. u 09:06 GMT+1]}

Hajde, ako ti nije tesko, napisi ceo racun, posto ideju sa tvojom prcijalnom integracijom nisam uspeo da kompletiram.

Huh, naterao si me da uzmem papir i olovku, rezultat je u attachmentu.

Prihvatam da je . Smena je , kao i da je , gde je Hevisajdova funkcija. No, nejasna je jednakost



Ne prihvatam nikakvu Dirakovu "funkciju" , jer u integralnom računu se dokazuje da takva funkjcija ne postoji. Prihvatam Dirakovu generalisanu funkciju, to jest Dirakovu distribuciju , ali se ona ne može naći pod integrealom. Umesto toga treba koristiti dejstvo distribucije na test funkciju. No, čak i kada se na taj način gornja jednakost prevede, ona postaje jednakost



koja mi takođe nije jasna. Drugo rešenje nije prihvatljivo, jer iz nikako ne sledi jer ne važi



već



a to nije isto. Takođe limesom se ne može ući pod integral u opštem slučaju, već treba proveriti da li su ispunjeni uslovi pod kojima se takav prelaz može napraviti.

Uspeo sam da uradim zadatak. Prvo, parcijalnom integracijom se dobija da je . Smenom dobija se da je . Parcijalnom integracijom (, to je dalje jednako . Funkcija je ogranicena kao neprekidna funkcija sa kompaktnim nosacem (koji je isti kao i za . Stoga postoji za koje je . No, odatle je , pa posto je po Lebegovom stavu o dominantnoj konvergenciji mozemo uci limesom pod integral, pa je konacno



Znaci,

Vratim ovo u gornji izraz i dobijem



Odavde se vidi da izraz u srednjoj zagradi anulira integraciju po i integracionu promenljivu zamenjuje slobodnom promenljivom . A ovu osobinu ima funkcija. Pa je prema tome



Ovako to rade fizicari Ima dosta pretpostavki. Prva je da vazi Fubini... Zanima me tvoje misljenje. Ipak rezultat je tacan!

Da pokušamo da napravimo reda u terminologiji:

- funkcional je preslikavanje skupa funkcija A na skup brojeva

- <g,f> je takođe funkcional koji uređenu dvojku funkcija (g,f) iz proizvoda skupova funkcija A X A preslikava na skup brojeva. U našem slučaju funkcional je INTEGRAL.

- specijalna klasa funkcija D (D je podskup A) ima važnu osobinu da je (i dalje zadržavamo kao funkcional integral)
<d,f> = f(0) ; d pripada D
abs(d) = 0 za abs(x) > e, e teži 0

bilo kog predstavnika klase D zovemo delta-funkcija.

delta f-ja se (između ostalih sličnih načina) može dobiti i kao

d(x) = k*exp(-k*x) za x>=0 i k teži 0+

@petarm

Za integral divergira.

@Fitopatolog

Pojam integrala, onakvog kakav je danas u upotrebi, definisao je Anri Lebeg. U Lebegovoj teoriji integracije lako se dokazuje sledeća teorema:

Ne postoji nijedna funkcija takva da za svako važi .

Distribucija je svaki linearni funkcional koji slika skup u skup realnih brojeva takav da važi kad god sve test funkcije imaju zajednički kompaktan nosač i teži uniformno ka po svim izvodima.

Lokalno integrabilnoj funkciji pridružuje se distribucija koja se obeležava istim simbolom, definisana kao . No, to je samo jedan od načina da se zada distribucija i takve distribucije (zadate integralom) zovemo regularnim.

Dirakova distribucija se definiše sa i ona nije regularna (u tom se slučaju kaže da je singularna), to jest, ne može se zadati integralom. Upravo o tome govori prethodna teorema.

Da li je Hevisajdova fja regularna distribucija? Mozes li to prokomentarisati na ovom primeru?




Mozes li ovo pokazati?

Mozes li objasniti zasto ja radeci "pogresno" dobijam dobar rezultat?

Dobro, da li d(x,e), e teži 0 (iz naslova zadatka ili iz mog pretposlednjeg posta), možemo smatrati funkcijom?

Takođe, da li postoji bar jedna f-ja d(x) tako da gornji integral važi bar za NEKE funkcije fi?


_{[Ovu poruku je menjao Fitopatolog dana 19.04.2008. u 10:38 GMT+1]}

Hevisajdova funkcija je neprekidna u svim tackama osim u jednoj, u cijoj je okolini ogranicena, iz cega sledi da je lokalno integrabilna. Odatle sledi da ona indujuje je jednu regularnu distribuciju.

.

Neka je trazena funkcija i neka je segnemt takav da ne sadrzi nulu. Neka je i . Skup je merljiv, jer je funkcija merljiva kao lokalno integrabilna. Stoga, za svako postoji zatvoren skup takav da je . Taj skup je kao zatvoren i ogranicen kompaktan. Takodje, postoji otvoren skup takav da je . Bez umanjenja opstosti mozemo jos pretpostaviti da je , i da . U knjizi "Parcijalne jednacine" Boska Jovanovica se moze naci primer funkcije takve da je , za i za .

Posto je lokalno integrabilna funkcija, vazi , pa posto je i skoro svuda, gde je funkcija koja je jednaka jedinici u tackama skupa ,a u ostalim tackama je jednaka nuli, Lebegov stav o dominantnoj konvergenciji se moze primeniti, pa je .

Sa druge strane je

,

sto je zbog lokalne integrabilnosti funkcije za dovoljno veliko manje od zadatog . No, zajedno sa odatle sledi da je za dovoljno veliko , pa je . Posto je proizvoljno, odatle sledi (zbog ) da je .

Znaci, za svako vazi da je , pa je i skup mere nula kao prebrojiva unija skupova mere nula. No, segment je bio proizvoljan segment koji ne sadrzi nulu, pa posto je prebrojiva unija takvih intervala, bice skoro svuda na , pa samim tim i na skoro svuda na jer je jednoclan skup mere nula. Na slican nacin se moze dokazati i da je skoro svuda, odakle je skoro svuda za ma kakvu funkciju odakle je suprotno polaznoj pretpostavci.

Prvo, matematika ti garantuje samo da ako radis dobro, da moras dobiti dobar rezultat. Ako radis pogresno, nema nikakvih garancija ni da ce rezultat biti dobar, ni da ce biti pogresan. Seti se istinitosne tablice implikacije. Iz tacnog sledi samo tacno, a iz netacnog slede i tacno i netacno.

Drugo, tvoja ideja jeste dobra, i moze se "doterati" u formalno korektne vode. Zato i ne iznenadjuje cinjenica da si dobio tacan rezultat.



Rekao bih da kod tvojeg d(x,k) treba k da ide u beskonacnost. No, nema veze. Na taj nacin dobijas limes u klasicnoj analizi koji je nula svuda van nule, pa kada se pomnozen bilo kojom funkcijom prointegrali daje nulu. Ako se limes radi u prostoru distribucija, granicna vrednost je Dirakova distribucija.

Za bilo koji konacan broj funkcija postoji funkcija takva da je .

Nedeljko:
Drugo, tvoja ideja jeste dobra, i moze se "doterati" u formalno korektne vode. Zato i ne iznenadjuje cinjenica da si dobio tacan rezultat.


Jel mozes da pokazes kako bi se ta ideja mogla korektno sprovesti?

Da, pogrešio sam.

Za ma koje i važi



Stavljajući da je i dobijamo da je

.