Raspoređivanje slova

Pošto na forumu ima članova koji vole da rešavaju zadatke iz kombinatorike, predlažem sledeći zadatak o raspoređivanju:

Zadatak: Na koliko se načina mogu rasporediti slova reči KOMBINATORIKA, tako da između bilo koja dva samoglasnika, stoji bar jedan suglasnik?

Zgodna glavolomka ;)

U reči KOMBINATORIKA ima 7 suglasika, ali se K pojavljuje 2 puta, i 6 suglasnika, ali samo 3 različita (O, I, A) koji se svaki pojavljuje po dva puta.

Dakle, samo suglasnici se mogu rasporediti na 7!/2! = 2520, dok se samo samoglasnici mogu poređati na 6!/(2!2!2!) = 90 načina

Ako rasporedimo suglasike, tada postoji 5 mesta između njih gde MORA da postoje samoglasnici i 2 mesta (pre prvg i posle poslednjeg suglasnika) na kojem mogu ali ne moraju da se pojave suglasnici.

U slučaju da je popunjeno svih 7 mesta, tada postoji samo jedan način da se rasporede suglasnici
U slučaju da je popunjeno 6 mesta, postoji 2 slučaja - da je popunjeno prvo mesto ali ne i sedmo ili obrnuto, da je popunjeno sedmo a ne prvo. Na preostalih 6 mesta treba popuniti ukupno 7 suglasnika što znači da na jednom od 6 mesta mora biti dva suglasnika, na ostalima po jedan,, pa je ukupan broj slučajeva 2*6
Poslednji slučaj je da je popunjeno 5 mesta. To imamo dve situacije - da je na jednom od 5 mesta 3 suglasnika, pa takvih slučajeva ima 5. Drugi slučaj je da imamo na 2 mesta 2 suglasnika, a na 3 imamo po jedan. Ukupan broj slučakeva je 5!/(2!3!) što je 10 slučajeva.

Konačan broj rasporeda je 2520*90*(1+2*6+5+10)=6 350 400

Ako se nisam zabrojao

Moraće jans kao postavljač zadatka da potvrdi, ali rekao bih da je tačno rešenje, i svaka čast na brzini rešavanja.

djoka_l je dobro rešio zadatak, a postupak lepo objasnio.
Predlažem da miki069 izloži rešenje pomoću kombinacija sa ponavljanjem. Članovima i gostima foruma koji uče matematiku (mislim na učenike i studente) to može biti korisno. Od više izloženih postupaka mogu da biraju onaj koji im najviše odgovara.

djoka je već objasnio zašto 2520 a jans potvrdio, odkud sad 5040?

A što se tiče tvog zadatka kakav crni majore, buni me ako su dva ista na pozicijama 4 i 5 na primer, onda neka druga dva mogu biti na pozicijama 6 i 7, ali ne na pozicijama 5 i 6 jer je 5 već zauzeto, i tako dalje slično ..

Još jedno rešenje zadatka.
U rešenjima koja su izložili djoka_l i miki069, najpre razmeštamo samoglasnike a onda suglasnike. Zadatak možemo rešiti razmeštajući najpre suglasnike a onda samoglasnike. Pozicije na koje razmeštamo, u ovom slučaju slova, radi jednostavnijeg objašnjavanja, često numerišemo, ili posmatramo parne i neparne pozicije, ili ih na neki način „obeležavamo“. Ponekad objekte raspoređujemo u kutije, a objašnjavanje je jednostavnije, ako to i vizuelno predstavimo.
Naizmenično poređajmo 8 krugova i 7 kvadrata:

Ako u kvadrate upišemo suglasnike a u krugove samoglasnike, dobićemo reč u kojoj nema susednih samoglasnika.
U krugove zajedno sa samoglasnicima AAIIOO, pošto ih ima samo 6, rasporedimo i XX. A u krug u koji smo rasporedili X, ništa ne zapisujemo. Broj svih rasporeda ovih 8 simbola u osam krugova (permutacije sa ponavljanjem) je 8! / (2!2!2!2!).
Suglasnike KKMBNTR u kvadrate možemo rasporediti na 7! / 2! načina.
A broj svih rasporeda u kojima nema susednih samoglasnika je ( 8! / (2!2!2!2!)) ( 7! / 2! ) = 6350400.

Najpre da odgovorim na jednu od prethodnih poruka koju je napisao Miki. Nadam se da me neće pogrešno razumeti.
Napisao si da razumeš rešenja ali nemaš kapacitet da tako radiš zadatak. Ako razumeš, onda možeš i da uradiš. Rešavanje „šablonom“ je verovatno stvar navike, a uzrok mogu da budu i nastavnici koji su nam predavali ( ne mislim samo na matematičare ).
Napisao si: „Ne znam kako bi to funkcionisalo u slučaju 18 suglasnika i 12 samoglasnika. Šablon sa kombinacijama sa ponavljanjem ne zavisi od broja suglasnika i samoglasnika.“
Ako si mislio na način rešavanja koji sam ja izložio, razmisli kako bi to funkcionisalo, odnosno pokušaj da tako uradiš. Videćeš da funkcioniše.
Što se tiče drugog zadatka, odnosno raspoređivanja koje je predložio Miki, dopuniću napomene navedene u prethodnim porukama.
Jedan od zadataka kombinatorike jeste prebrojavanje ( određivanje kardinalnog broja ) konačnih skupova. Zbog toga se u kombinatorici često koriste tvrđenja teorije skupova, a jedno od tih tvrđenja je pravilo uključenja i isključenja ( „recept“ za određivanje kardinalnog broja unije skupova ), koje Miki navodi u jednoj od prethodnih poruka.
„Recept“ za rešavanje drugog zadatka u ovoj temi je: treba formirati sve moguće rasporede ( skup svih rasporeda datih slova ) , zatim eliminisati „nepovoljne“ rasporede ( rasporede u kojima se pojavljuje bar jedan par jednakih samoglasnika koji su na susednim pozicijama ), i na kraju „prebrojati“ rasporede koji su ostali posle eliminacije. U tom postupku koristimo pravilo uključenja i isključenja.
Pomoću tog pravila možemo rešiti i sledeći zadatak: Koliko ima prirodnih brojeva, ne većih od 1000 ( ili 1000000 ), koji su deljivi bar jednim od brojeva iz skupa {2,3,5 }.

U nauci se prednost daje šablonima u odnosu na štosove, jer predstavljaju rešenje opšteg slučaja nasuprot rešenju pojedinačnig slučaja.

Kada se rešava neki problem za koji ne postoji poznat šablon, uvek je bolje smisliti šablon koji ima opštost, nego rešenje koje rešava samo jedan pojedinačan slučaj. Međutim, kada je taj pojedinačan sluaj važan, a nema opštijih rešenja, onda se naravno to prihvata.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.