Količina naelektrisanja konture i granice integracije

Količina naelektrisanja konture i granice integracije 21.10.2002. u 17:30 · pre 292 meseca #1

Neka je data kružnica poluprečnika $a$ na kojoj postoji linijsko naelektrisanje:

$\begin {displaymath} Q'(\varphi)=Q'_{0}\cos\frac{\varphi}{2} \end {displaymath}$
Odrediti količinu naelektrisanja tj. $\begin {displaymath} Q_{konture}=? \end {displaymath}$

Zadatak je trivijalan i da skratim priču, dobije se:

$\begin {displaymath} Q_{konture}=Q '_{0}\int _{-\pi}^{+\pi} \cos \left( \frac{\varphi}{2} \right ) a \hbox{d}l \end {displaymath}$

Posle smene:

$\begin {displaymath} \frac{\varphi}{2}=t \Rightarrow Q_{konture}=4aQ'_0 \end {displaymath}$

Ali, sve to ukoliko integralimo u granicama integracije od $-\pi$ do $\pi$ .

Ukoliko integralimo od $0$ do $2\pi$ , što je mnogo logičnije (prirodnije), dobije se rezultat nula !!!

Zašto je to tako ??? Zar je moguće da naelektrisanje neće biti isto ukoliko se promene granice integraljenja ? Zar nije logično da je naelektrisanje pod datim uslovima const. Ili je ova druga varijanta netačna ?

Re: Količina naelektrisanja konture i granice integracije 22.10.2002. u 00:55 · pre 292 meseca #2

Tacan je i jedan i drugi rezultat. Zavisi kako je u zadatku definisan ugao $\varphi$ .
Ako je definisano da $\varphi$ ide od $0$ do $2\pi$ onda je rezultat $0$
a ako je definisano da ide od $-\pi$ do $\pi$ onda je rezultat $4aQ_0^{'}$ .

Sada cu da ti objasnim ako ti nije jasno zasto se to razlikuje. Ti verovatno mislis da je svejedno da li uzmes da je $\varphi$ recimo $\frac{3\pi}{2}$ ili $-{\pi\over 2}$ . E pa nije jer ce $\cos\frac{\varphi}{2}$ biti razlicit u jednom i u drugom slucaju.

Prvi put pisem nesto u tex-u. U cemu gresim? Zasto nece da mi napise kako treba 3Pi/2 ? Napisao sam \frac {3\pi}{2}. Evo sada kada sam dodao ispred i iza $ onda radi.
Cemu sluzi $?

[Ovu poruku je menjao srki dana 22.10.2002. u 10:55 GMT]

Re: Količina naelektrisanja konture i granice integracije 22.10.2002. u 09:10 · pre 292 meseca #3

Naravno, matematički mi je potpuno jasno, mora u postavci biti definisan taj ugao, to je potpuno jasno kažem. Mene više zanima ona realna (fizička) strana. To onda znači da ta kontura u stvarnosti ima razlicite količine naelektrisanja ? To je ono što me buni ...

Što se tiče texa, sa $ naznačavaš texu da počinješ da pišeš matematiku (posle završene math. formule opet staviš $), a može i ovako:

\begin {displaymath}

formule, formule, ... (sad bez $)

\end {displaymath}

Takođe, možeš primetiti kako većina formula koje si napisao "lebdi", to je izgleda neki bag, jer ako ti pređe linija texa, koju pišeš, u sledeći red, onda, čini mi se, to bude ovako ružno formatirano. Gojko ?

Re: Količina naelektrisanja konture i granice integracije 22.10.2002. u 09:29 · pre 292 meseca #4

Kontura zaista ima razlicitu raspodelu naelektrisanja u zavisnosti od toga kako je ugao $\varphi$ definisan. Dao sam ti primer da je razlicito naelektrisanje za $\varphi=\frac{3\pi}{2}$ i za $\varphi=-\frac{\pi}{2}$ iako je to ista tacka na konturi.

U prvom slucaju je $\cos\frac{\varphi}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ a u drugom je $\cos\frac{\varphi}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Znaci u jednom slucaju na istoj tacki dobjemo negativno a u drugom slucaju pozitivno naelektrisanje.

Znaci u zadatku mora obavezno biti definisan ugao da bi naelektrisanje bilo jednoznacno raspodeljeno.

[Ovu poruku je menjao srki dana 25.10.2002. u 12:09 GMT]

[Ovu poruku je menjao srki dana 25.10.2002. u 12:48 GMT]

Re: Količina naelektrisanja konture i granice integracije 22.10.2002. u 11:07 · pre 292 meseca #5

Citat:

seven:

Zašto je to tako ??? Zar je moguće da naelektrisanje neće biti isto ukoliko se promene granice integraljenja ? Zar nije logično da je naelektrisanje pod datim uslovima const. Ili je ova druga varijanta netačna ?

Zadatak nije trivijalan.

Obrati pažnju kako je definisan ugao! U slučaju da je ugao
$\varphi \in (0, 2 \pi)$ , gustina linijskog naelektrisanja nije neprekidna funkcija u tački $0$ što za posledicu ima pojavu tačkastog naelektrisanja u tački $0$ pored postojećeg linijskog usled singulariteta gradijenta linijskog naelektrisanja! Granični uslovi u Maksvelovim jednačinama i sračunaj.

Ako je ugao definisan na intervalu $(-\pi, \pi)$ na granicama intervala naelektrisanje je $0$ pa je sve OK.

f

Re: Količina naelektrisanja konture i granice integracije 25.10.2002. u 11:37 · pre 292 meseca #6

Citat:

srki:
... da bi naelektrisanje bilo jednoznacno raspodeljeno.

Strogo govoreći, to nije tačno. Dokle god su granični uslovi zadovoljeni, svaka raspodela naelektrisanja je moguća.

To što je s jedne strane neke tačke linijska gustina naelektrisanja jedna a s druge druga, znači da se u toj tački pojavljuje dodatno tačkasto naelektrisanje, (osim linijskog koje je pomenuto u zadatku) koje je posledica zadovoljenja graničnih uslova. To se ne sme izgubiti iz vida.

f

Re: Količina naelektrisanja konture i granice integracije 25.10.2002. u 11:51 · pre 292 meseca #7

Citat:

filmil:

Citat:

srki:
... da bi naelektrisanje bilo jednoznacno raspodeljeno.

Strogo govoreći, to nije tačno. Dokle god su granični uslovi zadovoljeni, svaka raspodela naelektrisanja je moguća.

Ma da, ali sam mislio konkretno u ovom slucaju da se dobija razlicita raspodela naelektrisanja.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme