[es] - Najmanje pozitivno realno r

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8752
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2808 Profil

Re: Najmanje pozitivno realno r

^{07.03.2025. u 22:03 - pre 15 meseci}

Pretpostavimo da su

kao u zadatku, pri čemu je

i izvedimo protivrečnost.

Teorema 1: Neka su

kao u zadatku. Tada je

.

Dokaz: Iz neprekidnosti funkcije

na ograničenom zatvorenom intervalu

sledi da funkcija

na tom intervalu dostiže najveću vrednost

u nekoj tački

. Iz

sledi da je

, a samim tim i

, odnosno

. Za neko

važi sledeće:

,

Za neko

važi sledeće:

,

što zajedno sa

daje

.

Kraj dokaza.

Teorema 2: Neka su

kao u zadatku. Tada postoji

, kao i neprekidne funkcije

diferencijabilne na intervalu

takve da važi

, kao i

.

Dokaz: Iz neprekidnosti funkcije

na ograničenom, zatvorenom intervalu

sledi da postoji najmanja nula

na intervalu

. Pritom, iz

sledi da je

, a samim tim i

. Dakle,

je različito od nule na intervalu

na zbog neprekidnosti na njemu ne menja znak, pa iz

sledi da je

na intervalu

.

Iz Teoreme 1 sledi da je

. Dokažimo da funkcija

nema nula na intervalu

. Dokaz izvodimo svođenjem na protivrečnost. Pretpostavimo da je

nula funkcije

i izvedimo protivrečnost. Tada bi za funkcije

definisane sa

važilo da su neprekidne na

, diferencijabilne na

, kao i

, pa prema Teoremi 1 važi

suprotno izboru broja

.

Iz neprekidnosti funkcije

na ograničenom i zatvorenom intervalu

sledi da funkcija

ima najveću nulu

na intervalu

. Pošto funkcija

nema nula na intervalu

, zaključujemo da je

i da je

najveća nula funkcije

na intervalu

. Dakle, funkcija

nema nula na intervalu

, pa na njemu ne menja znak, pa važi jedno od sledećeg:

a)

,
b)

.

Iz neprekidnosti funkcija

zaključujemo da ista jednakost važi i na intervalu

.

Sada se lako zaključuje da su traženi uslovi ispunjeni za

.

Kraj dokaza.

Dokažimo napokon da je

. Pretpostavimo suprotno i izvedimo protivrečnost. Prema Teoremi 2 možemo bez umanjenja opštosti pretpostaviti da je

. Definišimo funkciju

na sledeći način:

.

Važi sledeće:

.

Iz

sledi da je

, odnosno

. Iz

sledi da je

odnosno

. Odatle i iz

sledi da je

na intervalu

. Odatle i iz neprekidnosti funkcije

sledi da je funkcija

monotono neopadajuća na

.

Odatle i iz

sledi da je funkcija

konstantno jednaka nuli, odnosno da je

za neku funkciju

koja je neprekidna na

i diferencijabilna i pozitivna na

. Drugim rečima, važi

.

Iz

sledi da je

, odnosno

.

Iz

sledi da je

, odnosno

.

Dakle,

, pa je neprekidna funkcija

konstantna na

. Pritom je

, pa za pozitivnu konstantu

važi

, odnosno

što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

elektromonter

Član broj: 350826
Poruke: 5

Profil

Re: Najmanje pozitivno realno r

^{08.03.2025. u 09:44 - pre 15 meseci}

Citat:

miki069

Ne verujem da student I godine bilo kog fakulteta ima predzanje o redovima i to funkcionalnim alternativnim redovima.

Ima i to.
Na primer PMF 1.Godina Računarske nauke.
Rade stepene redove a pre Bolonje je toga bilo i više sa alternativnim i funkcionalnim redovima.

Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2079
*.mbb.yettel.rs.

+418 Profil

Re: Najmanje pozitivno realno r

^{08.03.2025. u 10:18 - pre 15 meseci}

U prilogu koji si dao nema nikakvih stepenih redova.
To se radi u Analizi-3 u drugoj godini.
Na PMF u Kragujevcu.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8752
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2808 Profil

Re: Najmanje pozitivno realno r

^{08.03.2025. u 11:54 - pre 15 meseci}

Poenta je u vezi između analize i geometrije.

Ako je geometrijski sinus

, koji svakom uglu kao geometrijskoj figuri pridružuje realan broj, definisan preko sličnosti trouglova i ako je definisana mera

ugla, koja svakom uglu kao geometrijskoj figuri pridružuje pozitivan realan broj tako da podudarnim uglovima pridružuje isti realan broj i koja uniji dva ugla pridružuje zbir brojeva pridruženih tim uglovima u slučaju kada je presek tih uglova prava, a unija neki veći ugao, onda se dokazuje da je mera ugla jednoznačno određena do na multiplikativnu konstantu. Tada možemo definisati analitički sinus

koji svako realnom broju pridružuje realan broj i takva da važi

za svaki ugao

i uz odgovarajuće neprekidno i periodično produženje. Tada se dokazuje da postoji pozitivna konstanta

koja zavisi od izbora mere pravog ugla, takva da važi

i slično za kosinus, pri čemu ista pozitivna konstanta učestvuje i u formuli za kosinus. Pritom je moguće odabrati meru pravog ugla tako da bude

. Tada je moguće koristiti stepene redove za rešavanje tih diferncijalnih jednačina i geometrijsku interpretaciju tih redova jer se zna da to jeste njihova geometrijska interpretacija.

Naravno, postoje i prečice da se iz definicija funkcija

može izvesti da su periodične sa istim periodom na kojim intervalima (izraženim preko perioda) kog znaka, gde su monotono rastuće, a gde monotoo neopadajuće, gde su konveksne, a gde konkavne. Prečica je kraća ako se koriste izvodi, ali je moguće i bez njih, samo sa neprekidnošću.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

mjanjic
Šikagou

Član broj: 187539
Poruke: 3150

+798 Profil

Re: Najmanje pozitivno realno r

^{08.03.2025. u 12:45 - pre 15 meseci}

U vezi diferencijalne jednačine y'' + y = 0, ako se dobro sećam, tražilo se samo da se diskutuju osobine rešenja, bez znanja o postojanju trigonometrijskih funkcija.
Kako se na osnovu drugog izvoda mogu odrediti prevojne tačke funkcije (tj. grafika funkcije), a za koje važi da je drugi izvod jednak 0, iz gornje diferencijalne jednačine sledi da f(x) ima prevojne tačke u preseku sa x-osom, tj. u tačkama koje su istovremeno i nule te funkcije.
Pored toga, vrednosti drugog izvoda funkcije i vrednosti same funkcija imaju istu apsolutnu vrednost i suprotan znak u svim ostalim tačkama, što znači da prvi izvod funkcije (koeficijent pravca tangente na grafik funkcije) opada kada je funkcija pozitivna i raste kada je funkcija negativna, i te vrednosti se menjaju istom "brizinom" počevši od tačke gde je f=0.
Znajući ovo, čak se može približno skicirati grafik takve funkcije. Ovo, onako, laički, na osnovu sećanja :)

Kako se na istom kursu pominjala i Gama funkcija, ali ne preko integrala, već kao funkcija koja za prirodne brojeve praktično predstavlja n! (faktorijel) i kako su tu pominjane osobine, između kojih i logaritamska konveksnost, ne znam da li su nešto od tih činjenica mogli da primene i na diskusiju o osobinama rešenja gornje diferencijalne jednačine.

Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.

Odgovor na temu

elektromonter

Član broj: 350826
Poruke: 5

Profil

Re: Najmanje pozitivno realno r

^{08.03.2025. u 16:29 - pre 15 meseci}

Evo ispravan link na obavezan ispit Matematička analiza 1. Ispit je na 1. godini studijskog programa Računarske nauke.

Prikačeni fajlovi

Analiza-1.jpg - 81.5k

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8752
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2808 Profil

Re: Najmanje pozitivno realno r

^{08.03.2025. u 16:30 - pre 15 meseci}

Osloniću se na teoriju linearnih diferencijalnih jednačina i neprekidnost i diferencijabilnost funkcija i osobine izvoda kao predznanje.

Iz teorije homogenih linearnih diferencijalnih jednačina se zna da postoje tačno dva rešenja do na linearnu nezavisnost. Obeležimo ih sa

uz odgovarajuće početne uslove

.

Za funkciju

se ispostavlja da zadovoljava isti Košijev zadatak kao funkcija

, pa je to ista funkcija, odnosno funkcija

je parna. Slično tome, funkcija

zadovoljava isti Košijev zadatak kao funkcija

, odakle sledi da je funkcija

neparna. Dakle, dovoljno ih je proučiti desno od nule.

Iz dvostruke diferencijabilnosti funkcije

i iz

sledi da je

četiri puta diferencijabilna funkcija. Takođe,

, odakle sledi da funkcija

zadovoljava isti Košijev zadatak kao

, pa je

. Na sličan način se zaključuje da je

. Iz

zaključujemo da je funkcija

konstantna, pa pošto je u nuli jednaka jedinici, važi

, odakle sledi da su funkcije

ograničene i da imaju vrednosti u intervalu

.

Iz

sledi da je funkcija

pozitivna u nekoj okolini nule, pa pošto zadovoljava datu diferencijalnu jednačinu, drugi izvod joj je negativan u istoj toj okolini, pa je prvi izvod opadajuća funkcija u istoj okolini. Iz

sledi da je

pozitivno u nekoj levoj poluokolini nule, a u desnoj negativno. Dakle, ako funkcija

nema nijednu nulu, onda je stalno poyitivna, izvod joj je desno od nule negativan i sve manji. Na prime, desno od jedinice će stalno biti manji od

, odakle sledi da će ipak morati negde da preseče x-osu. Međutim, zbog neprekidnosti mora postojati najmanja nenegativna nula

funkcije

. Iz

sledi da je

.

Dakle, funkcija

je pozitivna na intervalu

, pa na njemu ima negativan drugi izvod. odatle i iz neprekidnosti sledi da je funkcija

konkavna na intervalu

. Ona na intervalu

monotono opada.

Odatle sledi da je funkcija

na intervalu

nenegativna i manja od jedinice, pa zbog

funkcija

nema nula na tom intervalu, pa na njemu ne menja ynak. Iz

sledi da funkcija

raste u nekoj desnoj poluokolini nule, pa je zbog

pozitivna u nekoj desnoj šupljoj poluokolini nule. Prema tome, funkcija

je nenegativna na intervalu

, pa na njemu važi

.

Odatle sledi da je

, a onda i

, pa funkcija

zadovoljava isti Košijev zadatak kao funkcija

, dok funkcija

zadovoljava isti Košijev zadatak kao funkcija

. Dakle,

, gde su

proizvoljne konstante.

Odatle sledi da je

, a odatle i

-periodičnost funkcija

, a samim tim i svih rešenja date diferencijalne jednačine kao linearnih kombinacija

-periodičnih funkcija

.

Iz

(parnost) sledi da je funkcija

na intervalu

rastuća i konkavna. Odatle i iz

se lako iyvodi gde su funkcije

rastuće/opadajuće, odnosno konveksne/konkavne.

Neka je

bilo koje rešenje date diferencijalne jednačine različito od nule i neka je

. Tada važi

, kao i

, odakle sledi da je

.

Funkcija

na intervaliu

opada od

pa postoji neka tačka

za koju je

. Tada je

, odnosno

ili

. Neka je

u prvom slučaju, odnosno

u drugom.

Iz parnosti/neparnosti sledi da je

. Dakle, funkcija

zadovoljava u tački

isti Košijev uslov kao funkcija

jer važi

,

odakle sledi da je

opšte rešenje.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8752
*.dynamic.isp.telekom.rs.

+2808 Profil

Re: Najmanje pozitivno realno r

^{12.03.2025. u 20:52 - pre 15 meseci}

U videu je rešen prvi zadatak na nepotrbno komplikovan način.

Zanima nas samo vrednost drugog izvoda funkcije

, u tački 0, pri čemu je fukkcija data kao izraz (u ovom slučaju proizvod) po nekim drugim funkcijama, tako da

zavisi samo od vrednosti i izvoda tih drugih funkcija do drugog reda u tački 0.

Ako je

, onda ćemo diferenciranjem tog izraza dva puta dobiti izraz samo po

, pa vrednost

zavisi samo od

, pa za funkciju

važi

ako je

.

Dakle, funkcija

se može zameniti drugom funkcijom koja je u okolini nule aproksimira sa tačnošću do drugog reda, kao što je funkcija

.

Iz istog razloga, prilikom množenja možemo zanemariti članove višeg reda od 2 i tako brzo dolazimo do toga da je

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu