Logaritamska nejednakost

Logaritamska nejednakost 18.01.2025. u 14:23 · pre 22 meseca #1

Dokazati da je:

(log9)^2 + (log11)^2 > log(98)

Nemojte gubiti vreme i pokušavati da dokažete da je leva strana veća od log(99), jer nije veće, nego je manja od log(99).
Leva strana je za svega 0.0033.. veća od desne.

Re: Logaritamska nejednakost 19.01.2025. u 11:46 · pre 22 meseca #2

Uputstvo:

(0.99)^2 = 0.9801 > 0.98

Re: Logaritamska nejednakost 19.01.2025. u 19:30 · pre 22 meseca #3

[tex[(\log(9)-\log(11))^2>0[/tex]

$\log^2(9)+\log^2(11)>2\log(9\cdot 11)=log(99^2)=\log(9801)>\log(9800)$

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska nejednakost 20.01.2025. u 03:11 · pre 22 meseca #4

Ovo iz nekog rayloga nisam mogao da ispravim.

Prvo, treba da se zna koja je osnova logaritma.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska nejednakost 20.01.2025. u 11:24 · pre 22 meseca #5

Osnova je zadata u prvom tekstu.
Dakle osnova je broj koji za tu razliku daje 0.0033..
Mada google digitron za tu razliku daje 0.00385141583

U toj prvoj nejednakosti zar nije trebalo biti
log²(9)+log²(11) = 2*log(9*11)

Re: Logaritamska nejednakost 20.01.2025. u 11:44 · pre 22 meseca #6

Osnova logaritma je 10.
Dekadni logaritam.

Nedeljko je u pravu, jer u nekim knjigama pišu log(x), a misle na ln(x).
Tako da treba i to naglasiti, iako se podrazumeva.

Nejednakost koja stoji je:

(log9)^2 + (log11)^2 > 2*log(9)*log(11)

Ali ne vodi ka dokazu, jer 2*log(9)*log(11) nije veći od log(98), već je manji.

Još jedan hint:

9 = 10*0.9
11 = 10*1.1

Re: Logaritamska nejednakost 20.01.2025. u 14:18 · pre 22 meseca #7

Dokaz može i koriščenjem nejednakosti ( koja je ekvivalentna sa onom koju Miki navodi u napomeni ) 99²=9801>9800.

Re: Logaritamska nejednakost 20.01.2025. u 14:44 · pre 22 meseca #8

Citat:

miki069
Osnova logaritma je 10.
Dekadni logaritam.

Nedeljko je u pravu, jer u nekim knjigama pišu log(x), a misle na ln(x).
Tako da treba i to naglasiti, iako se podrazumeva.

Nejednakost koja stoji je:

(log9)^2 + (log11)^2 > 2*log(9)*log(11)

Da, dobro, onda nemam pitanja.

Re: Logaritamska nejednakost 20.01.2025. u 16:37 · pre 22 meseca #9

Možda je ostao neprimećen.

Još jedan hint:

9 = 10*0.9
11 = 10*1.1

Posle ide pravolinijski. Direktno.

Re: Logaritamska nejednakost 21.01.2025. u 01:42 · pre 22 meseca #10

Imamo sledeći ekvivalencijski niz:

$\log^2(9)+\log^2(11)>\log(98)$ ,

$(1+\log(0.9))^2+(1+\log(1.1))^2>2+\log(0.98)$ ,

$1+2\log(0.9)+\log^2(0.9)+1+2\log(1.1)+\log^2(1.1)>2+\log(0.98)$ ,

$2\log(0.9)+\log^2(0.9)+2\log(1.1)+\log^2(1.1)>\log(0.98)$ ,

$2(\log(0.9)+\log(1.1))+\log^2(0.9)+\log^2(1.1)>\log(0.98)$ ,

$2\log(0.9\cdot 1.1)+\log^2(0.9)+\log^2(1.1)>\log(0.98)$ ,

$2\log(0.99)+\log^2(0.9)+\log^2(1.1)>\log(0.98)$ ,

$\log(0.99^2)+\log^2(0.9)+\log^2(1.1)>\log(0.98)$ ,

$\log(0.9801)+\log^2(0.9)+\log^2(1.1)>\log(0.98)$ .

Prvi sabirak ne levoj strani je veći od desne strane, a preostala dva sabirka su pozitivna jer su kvadrati.

Pretpostavljam da se na ovo mislilo.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska nejednakost 21.01.2025. u 09:42 · pre 22 meseca #11

Može i ovako.
Logaritam broja 9 je manji, a logaritam broja 11 veći od jedinice, odnosno ti logaritmi nisu jednaki broju 1. Pošto kvadrat realnog broja koji nije nula mora da bude pozitivan, imamo
$(\log 9-1)^2+(\log 11-1)^2>0$
$\log ^2 9-2 \log 9+1+\log ^2 11-2 \log 11+1> 0$
$\log ^2 9+\log ^2 11>2 \log 9+2 \log 11 -2=\log (9\cdot 11)^2-\log100=\log \frac{9801}{100}=\log 98,01>\log 98$

Re: Logaritamska nejednakost 21.01.2025. u 11:47 · pre 22 meseca #12

Ovaj dugi dokaz je mnogo lepši.

Da li može da se dokaže da je:

(log9)^2 + (log11)^2 < log(99)

Leva strana je manja za svega 0.0005577...

Re: Logaritamska nejednakost 22.01.2025. u 00:22 · pre 22 meseca #13

Može.

Numerička analiza služi upravo tome da se za dato $\varepsilon>0$ pronađe interval širine manje od $\varepsilon$ kome data vrednost pripada, što mora da obuhvata i dokaz pripadanja te vrednosti tom intervalu.

Takvi dokazi se temelje na istoj opštoj matematičkoj metodologiji na kojoj se zasniva cela matematika. Nema tu nikakve posebnosti numeričke analize.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska nejednakost 22.01.2025. u 19:49 · pre 22 meseca #14

Numerička analiza služi za približno rešavanje jednačina, određenih integrala, Košijevog problema...

Ne znam kako se ona koristi kod nejednačina?

Re: Logaritamska nejednakost 22.01.2025. u 23:39 · pre 21 mesec #15

Dokažeš da se razlika leve i desne strane nejednakosti nalazi u nekom intervalu koji je levo od nule.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska nejednakost 23.01.2025. u 00:08 · pre 21 mesec #16

Može hint?
Koju funkciju posmartam?
Šta dalje?

Možda sam nešta propustio iz Numeričke analize, a mislim da nisam.

Ili je u pitanju Tejlorov polinom funkcije f(x)=log(x) u okolini broja 10?

Re: Logaritamska nejednakost 23.01.2025. u 01:38 · pre 21 mesec #17

Imamo ekvivalencijski niz

$\log^2(9)+\log^2(11)<\log(99)$ ,

$(1+\log(0.9))^2+(1+\log(1.1))^2<2+\log(0.99)$ ,

$2+2(\log(0.9)+\log(1.1))+\log^2(0.9)+\log^2(1.1)<2+\log(0.99)$

$2\log(0.99)+\log^2(0.9)+\log^2(1.1)<\log(0.99)$

$\log(0.99)+\log^2(0.9)+\log^2(1.1)<0$

$\log(99/100)+\log^2(9/10)+\log^2(11/10)<0$ ,

$-\log(100/99)+\log^2(10/9)+\log^2(11/10)<0$ ,

$\log^2(10/9)+\log^2(11/10)<\log(100/99)$ ,

$log^2(1+1/9)+\log^2(1+1/10)<\log(1+1/99)$ ,

$ln^2(1+1/9)+\ln^2(1+1/10)<\ln(1+1/99)\ln(10)$ ,

$ln^2(1+1/9)+\ln^2(1+1/10)<-\ln(1+1/99)\ln(1/10)$ ,

$ln^2(1+1/9)+\ln^2(1+1/10)<-\ln(1+1/99)\ln(1-9/10)$ ,

Za $0<x\leq 1$ važi da je Maklorenov razvoj funkcije $\ln(1+x)$ alternativni red sa članovima koji su po apsolutnoj vrednosti sve manji. Dakle,

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}nx^n$ ,

$\sum_{n=1}^{2k}\frac{(-1)^{n-1}}nx^n<\ln(1+x)<\sum_{n=1}^{2k+1}\frac{(-1)^{n-1}}nx^n$ .

Za $0<x<1$ važi da je Maklorenov razvoj funkcije $\ln(1-x)$ red sa negativnim članovima. Dakle,

$\ln(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}n$ .

$0<\sum_{n=k+1}^\infty\frac{x^n}{n}<\sum_{n=k+1}^\infty\frac{x^n}{k+1}=\frac{x^{k+1}}{(k+1)(1-x)}$ ,

$-\frac{x^{k+1}}{(k+1)(1-x)}-\sum_{n=1}^k\frac{x^n}{n}<\ln(1-x)<-\sum_{n=1}^k\frac{x^n}{n}$ .

Ovo poslednje je za računanje $\ln(10)=-\ln(1/10)=-\ln(1-9/10)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska nejednakost 23.01.2025. u 02:16 · pre 21 mesec #18

Na levoj strani nejednakosti su kvadrati od redova?

Re: Logaritamska nejednakost 23.01.2025. u 04:31 · pre 21 mesec #19

Kvadrati donjih i gornjih granica vrednosti.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Logaritamska nejednakost 23.01.2025. u 13:50 · pre 21 mesec #20

Dupla nejednakost za nejednakosti za ln(1+x) mi je jasna, jer je u pitanju alternativni red.
Duplu nejednakost za ln(1-x) moram da ispišem, ali je najverovatnije tačna.

I kako posle biramo k?

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme