Citat:
miki069: Taj dokaz sam i tražio.
Može i u posebnoj temi.
Zbog važnosti.
Naravno da se tog izvođenja ne sećam, ali je bilo komplikovanije nego što je neophodno. Navešću elegantnije izvođenje.
1. Slučaj dva oštra ugla čiji je zbir oštar ugao.
Neka su A, B i C oštri uglovi sa zajedničkim temenom O, gde su p i r kraci ugla C, poluprava q se nalazi unutar ugla C, p i q su kraci ugla A i q i r su kraci ugla B.
Izaberimo proizvoqnju tačku P poluprave p različitu od O. Neka je Q podnožje upravne iz P na q i neka je R podnožje upravne iz Q na r. Neka je K podnožje upravne iz P na r, L presek pravih PK i OQ i neka je M podnožje upravne iz Q na pravu PK. Tada važi sledeće:
Prave PK i MK su jednake.
Prave MK i QR su paralelne kao upravne na OR.
Prave MQ i KR su paralelne kao upravne na OK.
Prave MQ i MK su upravne.
Četvorougao MKRQ je pravougaonik.
KR=MQ jer su to naspramne ivice pravougaonika.
Ugao MPQ iznosi 90 stepeni minus ugao PLQ, odnosno 90 stepeni minus ugao OLK, odnosno isto koliko i ugao A.

.
2. Slučaj dva oštra ugla čiji je ugao prav.
Neka su A i B uglovi koji se dopunjuju do pravog. Tada važi sledeće:
Tada je

,

. Kosinus pravog ugla je nula, a isto toliko iznosi i

.
3. Slučaj dva oštra ugla čiji je ugao tup:
Slučaj je analogan slučaju dva oštra ugla čiji je zbir oštar. Tekst se skoro prepisuje.
Neka su A, B i C oštri uglovi sa zajedničkim temenom O, gde su p i r kraci ugla C, poluprava q se nalazi unutar ugla C, p i q su kraci ugla A i q i r su kraci ugla B.
Izaberimo proizvoqnju tačku P poluprave p različitu od O. Neka je Q podnožje upravne iz P na q i neka je R podnožje upravne iz Q na r. Neka je K podnožje upravne iz P na r, L presek pravih PK i OQ i neka je M podnožje upravne iz Q na pravu PK. Tada važi sledeće:
Prave PK i MK su jednake.
Prave MK i QR su paralelne kao upravne na OR.
Prave MQ i KR su paralelne kao upravne na OK.
Prave MQ i MK su upravne.
Četvorougao MKRQ je pravougaonik.
KR=MQ jer su to naspramne ivice pravougaonika.
Ugao MPQ iznosi 90 stepeni minus ugao PLQ, odnosno 90 stepeni minus ugao OLK, odnosno isto koliko i ugao OLK, odnosno isto koliko i ugao A.

.
Preostali slučajevi se obrađuju svođenjem na slučaj dva oštra ugla i adicionih teorema u slučaju kada je jedan od uglova prav.
4. Slučaj kada je jedan ugao prav, a drugi oštar:
Kosinus zbira oštrog ugla A i pravog ugla je minus sinus ugla A, pa jednakost važi na osnovu vrednosti za sinus i kosinus pravog ugla.
5. Slučaj dva prava ugla.
Sledi iz sinusa i kosinusa pravih uglova i opruženog ugla.
6. Slučaj kada je neki od uglova veći od pravog.
Svodi se na slučaj oštrih uglova predstavljanjem ugla većeg od pravog ugla kao zbira pravog ugla i nekog manjeg ugla i primenom stava o sinusu i kosinusu zbira oštrog i pravog ugla.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.