Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Zanimljiv zadatak o uglovima trougla

[es] :: Matematika :: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla

Strane: 1 2 3

[ Pregleda: 3555 | Odgovora: 46 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

MajorFatal
Milija Jakic
opravljam oluke, 1337LAB
Bg

Član broj: 36595
Poruke: 1501
87.116.166.*



+581 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla02.01.2025. u 14:00 - pre 44 dana i 15h
Citat:
jans:
Postupak rešavanja je najkraći, to je u jednom od prethodnih postova konstatovao i miki069, ako koristimo samo tačku F. Tačka E je suvišna. A tačku F na duži AD možemo odrediti na tri načina:
- tako da ugao ABF bude 15o;
- tako da bude DF=DB;
- kao podnožje normale iz temena C na duž AD.
Bez obzira kako tačku F odredimo, postupci rešavanja se razlikuju samo u redosledu primene osobina trougla ( osobine uglova trougla, jednakokrakih trouglova i, posredno, podudarnost trouglova ).


Pa ne znam baš, kad se odredi F tako što je ugao ABF 15o, prvo se pokazuje da je DF = X, pa EF = X, pa da je moguće konstruisati kružnicu, pa da je ugao CFD periferni, pravougli, pa ostalo. Ne znam kako bi ovo išlo unazad počevši od podnožja normale iz temena C na duž AD, ili iz DF = DB, a sve bez tačke E? Niti da bi postupak bio značajno kraći?

Nemoj da pricas?
 
Odgovor na temu

5thdimension

Član broj: 347117
Poruke: 8



Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla02.01.2025. u 14:57 - pre 44 dana i 14h
Nedeljko je uveo tačku E da bi mogao pokazati AF = BF.
Za sada je to rešenje najkraće jer niko nije pokazao da je naspram ugla od 30 stepeni stranica dužine polovine dužine hipotenuze.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8671
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2795 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla02.01.2025. u 21:42 - pre 44 dana i 7h
Ništa Nedeljko nije uvodio, nego je iskoristio MajorFatal-ovo rešenje.

Može bez tačke E, kao što je jans tvrdio.


1. Izabere se tačka F tako da ugao ABF ima 15 stepeni. To je moguće jer je 15 stepeni manje od 45 stepeni koliko ima ugao ABC.

2. Pošto je trougao ABF jednakokraki, važi AF=BF.

3. Ugao ADB ima 180-15-45=120 stepeni.

4. Ugao FBD ima 45-15=30 stepeni.

5. Ugao BFD ima 180-30-120=30 stepeni.

6. Trougao BFD je jednakokraki, pa je BF=FD.

7. Ugao CDF ima 180-120=60 stepeni.

8. Pošto je FD=BD=2CD i ugao CDF ima 60 stepeni, ugao CFD je prav.

9. Ugao FCD ima 90-60=30 stepeni.

10. Trougao BCF je jednakokraki, pa je BF=CF.

11. Iz AF=BF=CF sledi da je trougao ACF jednakokraki.

12. Trougao ACF je jednakokraki i pravougli, pa uglovi ACF i CAF imaju po 45 stepeni.

13. Ugao ACB ima 45+30=75 stepeni.


Ipak mi nije jasna poučnost zadatka.

Edit: Ispravio sam grešku u tački 1 koju je uočio jans.

[Ovu poruku je menjao Nedeljko dana 03.01.2025. u 02:23 GMT+1]
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

jans

Član broj: 218504
Poruke: 42
*.dynamic.a1.rs.



+2 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla02.01.2025. u 23:20 - pre 44 dana i 6h
Citat:
MajorFatal:
Pa ne znam baš, kad se odredi F tako što je ugao ABF 15o, prvo se pokazuje da je DF = X, pa EF = X, pa da je moguće konstruisati kružnicu, pa da je ugao CFD periferni, pravougli, pa ostalo. Ne znam kako bi ovo išlo unazad počevši od podnožja normale iz temena C na duž AD, ili iz DF = DB, a sve bez tačke E?

Ako tačku F odredimo tako da je ugao ABF od 15o ( ili da ugao DFB bude od 30o ), imamo trougao BDF sa dva ugla od 30o. Iz toga sledi da su naspram tih uglova jednake stranice, odnosno BD=DF, pa je CD=2BD=2DF. Prema tome u trouglu CDF je jedna stranica dva puta duža od druge a ugao između njih ( ugao kod temena D ) je od 60o. Sledi da je taj trougao polovina jednakostraničnog trougla, dakle pravougli, pa je ugao kod temena C od 30o.
Ako nije jasno zašto je taj trougao polovina jednakostraničnog trougla, obrazloženje je sledeće:
Ako bi konstruisali jednakostraničan trougao tako da mu je stranica jednaka duži CD i visinom podelili taj trougao na dva podudarna dela, polovina tog jednakostraničnog trougla bi bila podudarna sa trouglom CFD ( na osnovu stava o podudarnosti koji smo obeležavali sa SUS ).
U slučaju da tačku F odredimo tako da je DF=DB, sledi da je CD=2DF, ugao kod temena D od 60o, a to je trougao kao u prethodnom slučaju.
Međutim, i miki069 je u postu koji je ispred poruke iz koje je navedeni citat, napisao da je dovoljna samo taćka F:
Citat:
Trebalo je samo da se spusti visina iz temena C na duž AD.
To je tačka F. Da bi se iskoristila osobina da se u pravouglom trouglu naspram ugla od 30 stepeni nalazi kateta duplo manja od hipotenuze.
On je to dobro uočio i obrazložio. Ja ću tu njegovu konstataciju dopuniti.
Pošto iz temena C spustimo normalu CF na duž AD, imamo pravougli trougao CFD u kojem je jedan oštar ugao kod temena D od 60o. Taj trougao je polovina jednakostraničnog trougla, pa je hipotenuza tog trougla dva puta duža od kraće katete, odnosno CD=2DF, odakle sledi da je DF=DB. A obrazloženje zašto je taj trougao polovina jednakostraničnog trougla, je slično prethodnom ( a svodi se na primenu stava USU ).
Prema tome tačka E, a samim tim i ti periferijski i centralni uglovi su nepotrebni.

P.S.
Pošto je Nedeljko poruku poslao dok sam ja pripremao ovaj post, pa sam tu poruku video tek sada, dopuniću prethodni tekst.
Nedeljko u tački 8. navodi zaključak ali bez obrazlaganja i to je sve ok. Ako bi to detaljno objasnio, to bi bilo isto objašnjenje kao jedno od gore navedenih.



[Ovu poruku je menjao jans dana 03.01.2025. u 01:10 GMT+1]
 
Odgovor na temu

5thdimension

Član broj: 347117
Poruke: 8



Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 00:18 - pre 44 dana i 5h
Citat:
Nedeljko

1. Izabere se tačka F tako da ugao ABF ima 30 stepeni.

Jel može to malo detaljnije korak po korak? Kako si izabrao F i dobio taj ugao od 30 stepeni?


Slično pitanje za
Citat:
jans

Taj trougao je polovina jednakostraničnog trougla, pa je hipotenuza tog trougla dva puta duža od kraće katete, odnosno CD=2DF. A obrazloženje zašto je taj trougao polovina jednakostraničnog trougla, je slično prethodnom ( a svodi se na primenu stava USU ).

Nije sporno da se može sve dokazati primenom podudarnosti. Nego je pitanje broja koraka.
Dokaz samo tog "obrazloženje" preko podudarnosti za koji ja znam ima bar 6 koraka sve sa onim "primetimo". I onda šta je kraće?
 
Odgovor na temu

jans

Član broj: 218504
Poruke: 42
*.dynamic.a1.rs.



+2 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 00:50 - pre 44 dana i 4h
Citat:
5thdimension:
Nije sporno da se može sve dokazati primenom podudarnosti. Nego je pitanje broja koraka.
Dokaz samo tog "obrazloženje" preko podudarnosti za koji ja znam ima bar 6 koraka sve sa onim "primetimo". I onda šta je kraće?

Napominjem da i Nedeljko u poslednjoj poruci, u tački 8. zaključuje ( bez napomene da je u pitanju polovina jednakostraničnog trougla ) da je trougao pravougli i ima jedan oštar ugao od 60o, bez dokaza, zato što je to poznata činjenica i koristi se bez dokaza.
A ako ćemo brojati korake u postupku onako kako ti brojiš, onda oni koji rešavaju zadatak pomoću centralnog i periferijskog ugla, neka dokažu zašto je centralni dvaput veći od periferijskog ugla ( a neko će možda reći da najpre definišu te pojmove ) pa da onda vidimo koji je postupak duži.
 
Odgovor na temu

MajorFatal
Milija Jakic
opravljam oluke, 1337LAB
Bg

Član broj: 36595
Poruke: 1501
87.116.166.*



+581 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 08:35 - pre 43 dana i 20h
Vidi stvarno, može bez tačke E .. lepo ..
Nemoj da pricas?
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2027
109.245.227.*



+385 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 10:24 - pre 43 dana i 19h
Dokaz da se u prvouglom trouglu naspram ugla od 30 stepeni nalazi kateta koja je 1/2*hipotenuza je triijalan.
Samo se docrta još jedan takav trougao i dobije se jednakostraničan trougao.

Dokaz da je centralni ugalo =2*periferijski nije težak, ali duže traje.

Dokazi sinusne i kosinusne teoreme su lagani i meni jasni.

Dokaz adicionih formula za sinus i konus nikada nisam upevao sam da izvedem.
Nalazio sam neke dokaze koji mi baš nisu 100% jasni.
Zamolo bih link ka nekom dokazu. Bar za sinus(alfa + beta).
Ili neki vaš dokaz.
Cenim da Nedeljko i Jans to mogu da izvedu.
 
Odgovor na temu

5thdimension

Član broj: 347117
Poruke: 8



Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 10:29 - pre 43 dana i 19h
Citat:
jans

A ako ćemo brojati korake u postupku onako kako ti brojiš

Ti si tražio da se svede na ono što se učilo u VI razredu. Stav o 30 stepeni, naspramnoj stranici i hipotenuzi u pravouglom trouglu se ne dokazuje u VI razredu. Osim ako je izmenjen plan i program - nije mi poznato.


Ajmo ovako:

Nedeljko je izmenio poruku. Sada konstruiše ugao 15 stepeni od ugla 45 stepeni. Kako?

jans umesto tačke E i trougla FDE se poziva na jednakostranični trougao koji nije dat u postavci zadatka.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2027
109.245.227.*



+385 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 15:08 - pre 43 dana i 14h
Ne znam koji deo ti nije jasan?
Sva tri načina su ekvivalentna.

Idemo ovako: iz tačke C konstuišemo normalu na duž AD. Presek je tačka F.
Tada se koristi činjenica da naspram ugla od 30 stepeni se nalazi kateta=1/2*hipotenuza, a važi i obrnuto. Ekvivalencija.
Jasno rešenje ili nije?

Ako nije, pročitaj pažljvo kako je Nedeljko objasnio ekvivalentan dokaz.

Ako i to nije jasno, ili nisi dostojan sagovornik ili si trol.
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8671
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2795 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 15:41 - pre 43 dana i 13h
Citat:
miki069: Dokaz adicionih formula za sinus i konus nikada nisam upevao sam da izvedem.

Ja sam u gimnaziji "otkrio" adicione teoreme sinusa i kosinusa, pre nego što smo ih učili, tako što sam ih samostalno izveo. Trebale su mi za rotaciju u računarskoj grafici.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2027
109.245.227.*



+385 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 16:19 - pre 43 dana i 13h
Taj dokaz sam i tražio.
Može i u posebnoj temi.
Zbog važnosti.
 
Odgovor na temu

5thdimension

Član broj: 347117
Poruke: 8



Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 16:40 - pre 43 dana i 12h
Citat:
miki069

Tada se koristi činjenica da naspram ugla od 30 stepeni se nalazi kateta=1/2*hipotenuza, a važi i obrnuto.

To nije činjenica nego se dokazuje.

Naravno, ti možeš uraditi sličan zadatak na času i deci na pismenom dozvoliti da ga koriste bez dokaza.
Tada deca pišu "... i na osnovu zadatka od petka sledi da su podudarni".
Medjutim time se povlači sav onaj materijal iz dokaza "zadatka u petak".
Tj. implicitno si konstruisao trougao X'Y'Z' ili nešto slično.

Drugo, elementarni zaključak je na primer "ako su date dve prave koje se seku pod uglom alfa onda je ugao beta == alfa jer su unakrsni".
To se ne dokazuje jer sledi direktno iz postavke zadatka.
To je za VI razred.

Medjutim onaj trougao X'Y'Z' nije dat postavkom zadatka.
Tako da ja smatram da se tvrdjenje o tom trouglu dokazuje ili se pozovete na "zadatak od petka" a oboje podrazumeva dokonstrukciju trougla X'Y'Z', makar i mentalno.
 
Odgovor na temu

MajorFatal
Milija Jakic
opravljam oluke, 1337LAB
Bg

Član broj: 36595
Poruke: 1501
87.116.166.*



+581 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 21:13 - pre 43 dana i 8h
Da, onda i ja mogu da se pobunim, sama izjava da je "jedna stranica dva puta duža od druge" sadrži u sebi tačku E, ne možeš nikako ni izmeriti, ni konstruisati bilo koju duž koja je dva puta duža od neke druge (ili dva puta kraća), sem da dva puta nanosiš prvu duž na drugu, i tako utvrdiš dužinu (ili odrediš polovinu duži tačkom E pa izmeriš da je ona druga jednaka tačno polovini), u svakom tom postupku postoji i koristi se tačka E.
U stvari ona je bila tu već u postavci zadatka sa CD = 2DB, samo se prećutkuje i izostavlja iz opisa postupka ... ?
Slično važi i za duž EF, ne možeš koristiti osobine trougla, a da ga ne konstruišeš, sa centrom u E, mslm možeš da bi skratio opis rešenja, i kažeš a ostalo domislite.
Ili ima postupak da konstruišem dva puta dužu duž od neke druge bez nanošenja jedne tačke između, ali takav postupak bi, cenim, bio duža procedura od ove već opisane?
Nemoj da pricas?
 
Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8671
*.dynamic.isp.telekom.rs.



+2795 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla03.01.2025. u 21:41 - pre 43 dana i 7h
Citat:
miki069: Taj dokaz sam i tražio.
Može i u posebnoj temi.
Zbog važnosti.

Naravno da se tog izvođenja ne sećam, ali je bilo komplikovanije nego što je neophodno. Navešću elegantnije izvođenje.

1. Slučaj dva oštra ugla čiji je zbir oštar ugao.

Neka su A, B i C oštri uglovi sa zajedničkim temenom O, gde su p i r kraci ugla C, poluprava q se nalazi unutar ugla C, p i q su kraci ugla A i q i r su kraci ugla B.

Izaberimo proizvoqnju tačku P poluprave p različitu od O. Neka je Q podnožje upravne iz P na q i neka je R podnožje upravne iz Q na r. Neka je K podnožje upravne iz P na r, L presek pravih PK i OQ i neka je M podnožje upravne iz Q na pravu PK. Tada važi sledeće:

Prave PK i MK su jednake.

Prave MK i QR su paralelne kao upravne na OR.

Prave MQ i KR su paralelne kao upravne na OK.

Prave MQ i MK su upravne.

Četvorougao MKRQ je pravougaonik.

KR=MQ jer su to naspramne ivice pravougaonika.

Ugao MPQ iznosi 90 stepeni minus ugao PLQ, odnosno 90 stepeni minus ugao OLK, odnosno isto koliko i ugao A.

.

2. Slučaj dva oštra ugla čiji je ugao prav.

Neka su A i B uglovi koji se dopunjuju do pravog. Tada važi sledeće:

Tada je , . Kosinus pravog ugla je nula, a isto toliko iznosi i .

3. Slučaj dva oštra ugla čiji je ugao tup:

Slučaj je analogan slučaju dva oštra ugla čiji je zbir oštar. Tekst se skoro prepisuje.

Neka su A, B i C oštri uglovi sa zajedničkim temenom O, gde su p i r kraci ugla C, poluprava q se nalazi unutar ugla C, p i q su kraci ugla A i q i r su kraci ugla B.

Izaberimo proizvoqnju tačku P poluprave p različitu od O. Neka je Q podnožje upravne iz P na q i neka je R podnožje upravne iz Q na r. Neka je K podnožje upravne iz P na r, L presek pravih PK i OQ i neka je M podnožje upravne iz Q na pravu PK. Tada važi sledeće:

Prave PK i MK su jednake.

Prave MK i QR su paralelne kao upravne na OR.

Prave MQ i KR su paralelne kao upravne na OK.

Prave MQ i MK su upravne.

Četvorougao MKRQ je pravougaonik.

KR=MQ jer su to naspramne ivice pravougaonika.

Ugao MPQ iznosi 90 stepeni minus ugao PLQ, odnosno 90 stepeni minus ugao OLK, odnosno isto koliko i ugao OLK, odnosno isto koliko i ugao A.

.


Preostali slučajevi se obrađuju svođenjem na slučaj dva oštra ugla i adicionih teorema u slučaju kada je jedan od uglova prav.


4. Slučaj kada je jedan ugao prav, a drugi oštar:

Kosinus zbira oštrog ugla A i pravog ugla je minus sinus ugla A, pa jednakost važi na osnovu vrednosti za sinus i kosinus pravog ugla.

5. Slučaj dva prava ugla.

Sledi iz sinusa i kosinusa pravih uglova i opruženog ugla.

6. Slučaj kada je neki od uglova veći od pravog.

Svodi se na slučaj oštrih uglova predstavljanjem ugla većeg od pravog ugla kao zbira pravog ugla i nekog manjeg ugla i primenom stava o sinusu i kosinusu zbira oštrog i pravog ugla.
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2027
*.mbb.yettel.rs.



+385 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla04.01.2025. u 01:40 - pre 43 dana i 3h
5thdimension:
Ako nije jasan dokaz da se u pravouglom trouglu naspram ugla od 30° nalazi kateta=1/2"hipoteza, napisaću ga.
Trivijalan je. Rade ga deca u VI razredu osnovne škole.

Po tebi ni Pitagorina teorema ne sme da se koristi bez dokaza?
 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2027
*.mbb.yettel.rs.



+385 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla04.01.2025. u 01:42 - pre 43 dana i 3h
5thdimension:
Ako nije jasan dokaz da se u pravouglom trouglu naspram ugla od 30° nalazi kateta=1/2"hipoteza, napisaću ga.
Trivijalan je. Rade ga deca u VI razredu osnovne škole.

Po tebi ni Pitagorina teorema ne sme da se koristi bez dokaza?
 
Odgovor na temu

5thdimension

Član broj: 347117
Poruke: 8



Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla04.01.2025. u 04:04 - pre 43 dana i 1h
Naravno da ne znam teoremu o polovini dužine u pravouglom trouglu pa zato moram da konstruišem još jedan trougao :)

No sad ozbiljno.
Iz ovoga
Citat:
Pravougli trougao čiji su oštri uglovi 30° i 60° – Matematika za 7. razred

https://edukacija.rs/matematik...u-ostri-uglovi-30-i-60-stepeni

zaključujem da neki taj stav nauče tek u 7-mom razredu.

Da nastavnik može to da uvede u 6-tom razredu napisao sam ovde:
https://www.elitesecurity.org/p4092342

Takodje GARANT znam da neki završe 6-ti razred a da ne urade takav zadatak.
A nije ni obavezno nego nastavnik samostalno odlučuje (osim ako je izmenjen plan i program za šta ne znam).


 
Odgovor na temu

5thdimension

Član broj: 347117
Poruke: 8



Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla04.01.2025. u 04:56 - pre 43 dana
U medjuvremenu sam pronašao plan i program za VI razred.

Nema nastavna jedinica "osna simetrija".

Tako da je pod znakom pitanja da nastavnik može izvesti dokaz navedene teoreme.

Odnosno ono što sam napisao da neki ne rade taj dokaz izgleda da je sada pravilo kao posledica redukcije nastavnih planova i programa.

 
Odgovor na temu

miki069

Član broj: 161528
Poruke: 2027
*.mbb.yettel.rs.



+385 Profil

icon Re: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla05.01.2025. u 12:09 - pre 41 dana i 17h
Kolegu Jansa nisam pitao da li je nivo zadatka za VI razred osnovne škole, nego da li je za VI-VII-VIII razred osnovne škole.
Takvo rešenje je izložio Major, a usavršio ga Nedeljko.
Iz očajanja sam povukao visinu iz temena C na AD i uradio ga.
Posle sam video da je to sadržano u rešenju koje je uradio Nedeljko.
Kolega Jans je lepo objasnio da su sva tri rešenja ekvivalentna i ispravna.
Ne znam koji deo rešenja ti nije jasan?
Ako imaš neko četvrto rešenje, izloži ga.

Rešenje za nivo II-III godina srednje škole je detaljno izložila samo moja malenkost.
Proveri i javi ako nešta nije jasno.
Ako imaš neko drugo rešenje, izloži ga.

Bez nekih tvojih rešenja ili (ne)razumevanja izloženih ličiš na neadekvatnog sagovrnika.
Ili trola.

Ne zbog mene.
Osporavati Nedeljku tačno rešenje je baš trolovanje.
Uradio je stotine zadataka ovde na forumu i nikada mu nisam našao grešku.
Treba imati poštovanje za to.

Vidi se i da je kolega Jans profesionalni matematičar.
Najmanje završena SM srednja, a možda i MATF.

[Ovu poruku je menjao miki069 dana 05.01.2025. u 13:28 GMT+1]
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Zanimljiv zadatak o uglovima trougla

Strane: 1 2 3

[ Pregleda: 3555 | Odgovora: 46 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.