Zavrzlame sa beskonacnosti

Zadatak glasi rijesiti nejednacinu 1+log(2,x)+log(2,x)^2+log(2,x)^3+...>0 ;;;;;log(2,x) logaritam od x po bazi 2. Dato rijesenje x u intervalu (1/2,2).
.
Pitanje:

1. Da li vazi nejednakost za x>2.
Za x>2 geometrijski red na lijevoj strani nije konvergentan, međutim svi članovi niza su pozitivni pa bi i suma pozitivnih clanova trebala biti veca od 0.

Uvedeš smenu log(2,x) = t i praktično imaš geometrijski red po t, a kako su za dati interval svi ti logaritmi između -1 i 1, za interval od 0 do 1 je očigledno, pa ti ostaje da dokažeš samo za negativne vrednosti t, što je lako.
Dovoljno je da grupišeš red u parove po dva člana (1 + log, log^2 + log^3,...), i svaki par dva takva člana je pozitivan za negativne vrednosti logaritma (jer je negativni član u tom paru manji od pozitivnog), pa je suma takvih parova pozitivna.

Potpis

Blessed are those who can laugh at themselves, for they shall never cease to be amused.