Deljivost polinoma

Odgovori Nova tema

4 odgovora
3.646 pregleda

Deljivost polinoma 27.01.2015. u 22:17 · pre 143 meseca #1

Polinom p(x) stepena ne manjeg od tri daje pri deljenju sa x+1 ostatak 4, a pri deljenju sa $x^2 + 1$ ostatak 2x+3. Odrediti ostatak pri deljenju polinoma p(x) sa $(x+1)(x^2+1)$ .

Jasno mi je kako da iskoristim ovaj prvi uslov -> to znaci da je p(-1) = 4. Ali kako da iskoristim drugi uslov?

Hvala unapred na pomoci!

Re: Deljivost polinoma 28.01.2015. u 07:40 · pre 143 meseca #2

$x^2+1=(x+i)*(x-i)$
Gde je i imaginarna jedinica.

$P(i)=2*i+3$
$P(-i)=-2*i+3$

Druga veza, za -i, ne donosi ništa novo što nije donela ona za i.

Re: Deljivost polinoma 28.01.2015. u 16:03 · pre 143 meseca #3

Hvala puno! :)

Re: Deljivost polinoma 03.02.2015. u 11:32 · pre 143 meseca #4

Može i malo drugačije: pošto se traži ostatak posle deljenja sa polinomom trećeg stepena, taj ostatak je najviše drugog stepena, tj. $r(x) = ax^2+bx+c$ . Iz $p(x) = (x+1)(x^2+1)\cdot q(x) + r(x)$ se vidi da je ostatak posle deljenja $r(x)$ sa svakim od $x+1$ , $x^2+1$ isti kao i pri deljenju $p(x)$ sa ovim polinomima. Tako da imamo $r(-1)=4$ . Drugi deo se može iskoristiti na sledeći način: $ax^2+bx+c = a(x^2+1)-a+bx+c$ , odatle sledi da je $bx-a+c \equiv 2x+3$ , odakle je $b=2 \land -a+c=3$ . Sada imamo dovoljno za određivanje polinoma $r$ .

Re: Deljivost polinoma 04.02.2015. u 14:43 · pre 143 meseca #5

Dobra metoda.
Uopšteni Bezuov stav je nemoćan, ako se ne mogu naći nule deljenika.

Da je dat ostatak pri deljenju sa:
$x^3+x+1$ , a on nema racionalne nule, ne može se rešiti zadatak na prvi način.

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme