Zadatak iz toplogije

jedan zadatak iz topologije vezano za Bolerove skupove, nikako ga ne mogu uraditi :/

1) Dokazati da za svako neprekidno preslikavanje f: X - Y inverzne slike Borelovih skupova u Y su Borelovi skupovi u X.


i još jedan:

2) Dokazati da slika zatvorenog domena pod zatvorenim (otvorenim) preslikavanjem ne mora obavezno biti zatvoren domen.

HVALA puno :)

Pa prvi je jednostavan, ako znamo (topolosku) karakterizaciju da je preslikavanje neprekidno ako je inverzna slika otvorenog skupa otvoren skup, u odgovarajucim topologijama naravno. I sada se setimo kako smo definisali Borelove skupove, tj. Borelovu -algebru (kao minimalnu sigma algebru generisanu otvorenim skupovima (naravno, u zavisnosti od prostora na kome je generisana)) i tvrdjenje sledi (jer je inverzna slika zatvorena za prebrojive unije i slicno).

Drugim mi nije najjasniji, prvo, jer slika "domena" (koliko god mi to u ovoj prilici predstavljao cudan pojam) je kodomen, a takodje, zatvorena preslikavanja definisemo kao preslikavanja koja slikaju zatvorene skupove u zatvorene skupove (u odgovarajucim topologijama). Tako da je za ovaj drugi zadatak potrebno dodatno pojasnjenje sta se tacno trazi.

Potpis

Leonardo da Vinči

Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.

Milorad Stevanović

Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.