Matematikca indukcija

Matematikca indukcija 09.06.2014. u 20:50 · pre 151 mesec #1

moze pomoc oko ovog zadatka. Kad ubacim n=1 ne pokazuje se tvrdjenje, ili barem ne radim na pravi nacin....

Re: Matematikca indukcija 09.06.2014. u 21:06 · pre 151 mesec #2

1 nad nula je jedan.
1 nad 1 je 1.

Kako ti ne ispada da je 1+1=2?

Re: Matematikca indukcija 09.06.2014. u 22:56 · pre 151 mesec #3

Znaci to se simetricno sabira ? Ocigledno da ne shvatam.. Znam da se na pocetku umesto n doda 1 pa k pa u trecem koraku na levoj strani k+1 clan a desno umesto n stavljamo k+1. Ali to mi ovde ne pomaze

Re: Matematikca indukcija 11.06.2014. u 14:30 · pre 151 mesec #4

Šta ti znači "simetrično" sabiranje? Takav pojam ne postoji u matematici. Ono što tebi fali je poznavanje binomnih koeficijenata.

Obeležimo sa $S_n$ sumu:

$S_n = \sum_{s=0}^{n}{ {n} \choose {s}}$

Treba dokazati da je

$S_n= 2^n$

1. za n=1 imamo

$S_1= \sum_{s=0}^{1}{ {1} \choose {s}} = {{1} \choose {0}} + {{1} \choose {1}} = 1+1= 2 = 2^1$

2. Pretpostavimo da je za k tačno

$S_k = 2^k$

Potrebne su nam dve pomoćne formule (rekurzivna definicija binomnog koeficijenta):

$(1) \quad {{n} \choose {k}} = {{n-1} \choose {k-1}} + {{n-1} \choose {k}} \quad \forall{n,k}\in \mathbb{N} \mid 1 \le k \le n-1$

i

$(2) \quad {{n} \choose {0}} = {{n} \choose {n}} = 1 \quad \forall{n} \in \mathbb{N} \mid n \ge 0$

Dakle, odavde dobijemo da je:

$S_{k+1} = \sum_{s=0}^{k+1}{ {k+1} \choose {s}}= {{k+1} \choose {0}}+ \sum_{s=1}^{k}{ {k+1} \choose {s}} + {{k+1} \choose {k+1}}$

U poslednjoj formuli sam samo izvukao prvi i poslednji element sume, a sumi sam promenio gornju i donju granicu.
Ove formule dalje postaju primenom pravila (1) i (2):

$S_{k+1} = 2 + \sum_{s=1}^{k}{\Bigg({{{k} \choose {s-1}}+{{k} \choose {s}}}\Bigg)}=2+\sum_{s=1}^k{{k} \choose {s-1}} + \sum_{s=1}^k{{k} \choose {s}}$

Prva suma je:

$\sum_{s=1}^k{{k} \choose {s-1}} = \sum_{t=0}^{k-1}{{k} \choose {t}} = \sum_{t=0}^{k}{{k} \choose {t}} - {{k} \choose {k}} = S_k -1=2^k -1$

Druga suma je

$\sum_{s=1}^k{{k} \choose {s}} = \sum_{s=0}^k{{k} \choose {s}} - {{k}\choose{0}} = S_k - 1 = 2^k -1$

Pa dobijemo da je

$S_{k+1} = 2 + S_k -1 +S_k -1 = 2*S_k=2*2^k=2^{k+1}$

čime je potvrđena indukciona pretpostavka...

1

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme