Sistem diferencijalnih jednacina

Jedan od načina je Lagranževa metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Opšte rečenje jednačine $y''+y=0$ je $C_1\cos(x)+C_2\sin(x)$ . Da bismo došli do partikularnog rešenja nehomogene jednačine, zamenjujemo integracione konstante funkcijama po promenljivoj po kojoj se diferencira u jednačini.

$y_p(x)=C_1(x)\cos(x)+C_2(x)\sin(x)$ .

Diferenciranjem dobijamo da je

$y_p'(x)=-C_1(x)\sin(x)+C_2(x)\cos(x)$

pod uslovom da je $C_1'(x)\cos(x)+C_2'(x)\sin(x)=0$ . Još jednim diferenciranjem dobijamo da je

$y_p''(x)=-C_1(x)\cos(x)-C_2(x)\sin(x)-C_1'(x)\sin(x)+C_2'(x)\cos(x)$ .

Uslov $y_p''(x)+y_p(x)=\frac 1{\cos(x)}$ se svodi na

$-C_1'(x)\sin(x)+C_2'(x)\cos(x)=\frac 1{\cos(x)}$ .

Ova jednačina zajedno sa jednačinom

$C_1'(x)\cos(x)+C_2'(x)\sin(x)=0$

obrazuje sistem od dve linearne jednačine po $C_1'(x)$ i $C_2'(x)$ . Rešenje tog sistema je

$C_1'(x)=-\tan(x)$ , $C_2'(x)=1$ .

Integracijom dobijamo da je jedan od mogućih parova funkcija

$C_1(x)=-\ln(|\cos(x)|)$ , $C_2(x)=x$ ,

koji daje jedno od mogućih partikulanih rešenja $x\sin(x)-\ln(|\cos(x)|)\cos(x)$ .

Konačno, opšte rešenje je

$y(x)=(x+D_1)\sin(x)+(D_2-\ln(|\cos(x)|))\cos(x)$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme