Matrica na n-ti stepen

Ta formula se može koristiti samo ako svakoj sopstvenoj vrednosti odgovara onoliko linearno nezavisnoh vektora kolik je njen red. U protivnom je upotreba te formule nemoguća. Na prvu matricu se može primeniti taj postupak, tj. $A=SDS^{-1}$ za

$S=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 0 & 1 \vspace{0.5em}\\ 2 & 0 & 1 & 1 \vspace{0.5em}\\ -2 & -4 & -1 & -2 \vspace{0.5em}\\ -1 & -5 & 0 & -1 \vspace{0.5em}\\ \end{array} \right]$ , $D=\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \vspace{0.5em}\\ 0 & -1 & 0 & 0 \vspace{0.5em}\\ 0 & 0 & -1 & 0 \vspace{0.5em}\\ 0 & 0 & 0 & 0 \vspace{0.5em}\\ \end{array} \right]$ .

Naime, odrediš prvo sopstvene vrednosti, pa za svaku najveći broj linearno nezavisnih sopstvenih vektora, pa ih upišeš u matricu $S$ po kolonama, pa formiraš dijagonalnu matricu $D$ sa sopstvenim vrednostima po dijagonali tako da $i$ -ta vrenost na dijagonali bude sopstvena vrednost koja odgovara sopstvenom vektoru matrice $A$ koji je stavljen u $i$ -tu kolonu matrice $S$ .

Ako si sve dobro uradio, po definiciji sopstvenih parova važi $AS=SD$ , odnosno $A=SDS^{-1}$ . Na osnovu toga se indukcijom dokazuje da je $A^n=SD^nS^{-1}$ .

U ovom slučaju je $A^3=A$ , pa je $A^{2n}+A^{2n-1}=A^2+A$ .

U drugom slučaju je taj postupak nemoguć jer imaš samo jednu sopstvenu vrednost i ona ima samo dva linearno nezavisna sopstvene vektora. Evo opšteg postupka:

$x^n=p(x)q_n(x)+r_n(x)$ ,

gde je $q_n$ količnik, a $r_n$ ostatak pri delenju polinoma $x^n$ karakterističnim polinomom $p(x)$ (može se koristiti i minimalni). U našem slučaju je $p(x)=(x-1)^4$ , pa pošto je $r_n$ nižeg stepena od $p$ , postoje konstante $a_n,b_n,c_n,d_n$ takve da je

$x^n=(x-1)^4q_n(x)+a_n+b_nx+c_nx^2+d_nx^3$ .

Treba ih odrediti. Diferenciranjem ove jednačine tri puta dobijamo sistem jednačina koji zajedno sa ovom glasi

$x^n=(x-1)^4\alpha_n(x)+a_n+b_nx+c_nx^2+d_nx^3$ ,
$nx^{n-1}=(x-1)^3\beta_n(x)+b_n+2c_nx+3d_nx^2$ ,
$n(n-1)x^n=(x-1)^{n-2}\gamma_n(x)+2c_n+6d_nx$ ,
$n(n-1)(n-2)x^{n-3}=(x-1)\delta_n(x)+6d_n$ ,

za neke polinome $\alpha_n,\beta_n,\gamma_n,\delta_n$ . Zamenom $x$ jedinicom dobijamo sistem

$a_n+b_n+c_n+d_n=1$ ,
$b_n+2c_n+3d_n=n$ ,
$2c_n+6d_n=n(n-1)$ ,
$6d_n=n(n-1)(n-2)$ .

Rešavanjem ovog sistema dobijamo da je

$a_n=-\frac{n^3-6n^2+11n-6}6$ ,
$b_n=\[\frac{n^3-5n^2+6n}2$ ,
$c_n=-\frac{n^3-4n^2+3n}2$ ,
$d_n=\frac{n^3-3n^2+2n}6$ .

Obzirom da je $(A-E)^4=0$

$A^n=(A-E)^4q_n(A)+a_nE+b_nA+c_nA^2+d_nA^3=a_nE+b_nA+c_nA^2+d_nA^3=$ .

Zameni $a_n,b_n,c_n,d_n,E$ , izračunaj $A^2,A^3$ , sredi sve i to ti je to.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Srodne teme