Neka je
Ona se moze zapisati i kao
, pa je njena inverzna permutacija
koja se moze ciklicno pomeriti (siftovati) udesno dovoljan broj puta (ovde jednom) i dovesti do oblika
.
E sad, sta konkretno znaci ovakav zapis (ne znam koliko si upoznat sa njim), evo npr. ovaj poslednji
, pa, 1 se slika u 5, 5 u 4, 4 u 3, 3 u 2, a 2 u 1 (dakle, ides redom), sto bas i odgovara zapisu
E sad, ovaj primer i nije bas najreprezentativniji da se pokaze kako se trazi inver permutacije. Evo npr. neka je
Dakle, krenemo od 1 (moze i bilo koji drugi broj), i sad, 1 se slika u 5, 5 u 2, 2 u 4, 4 u 1 i zatvaramo cikl (dakle, kada se neki element cikla slika u pocetni element cikla onda zatvaramo), dakle imamo
, dalje, biramo iduci broj koji se nije dosada javljao, npr. 3, i sad, 3 se slika u 7, 7 u 3 i zatvaramo cikl, tj.
, i na kraju ostaje 6, al 6 se slika u 6, pa to ne pisemo. I sad na kraju, nasa permutacija se moze predstaviti kao
(pri cemu ovakav postupak pravi disjunktne ciklove, samim tim i oni i komutiraju (vidi pricu dole), pa vazi
(mada inverz transpozicije je ista transpozicija, nema efekta). Ajd da proverimo ovo, dakle
. I sad se vratimo na
, koja kaze da se 4 slika u 2, 2 u 5, 5 u 1, 1 u 4, pa, 7 u 3, 3 u 7, i 6 u 6 (cega nema to se slika u samog sebe) sto i jeste
Ovakav (
) nacin predstavljanja permutacija je poprilicno dobar i omogucava nam da lakse operisemo sa permutacijama.
Evo nekoliko lepih osobina koje se lepo prezentuju ovakvim zapisom:
Disjunktni ciklovi komutiraju. Dakle, npr,
Dalje, svaka permutacija
(
grupa permutacija reda
) moze se napisati kao kompozicija disjunktnih ciklova. A samim tim vazi i da se svaka permutacija moze predstaviti kao proizvod transpozicija (cikl duzine 2, npr.
), jer se svaki cikl
moze prestaviti kao
. E sad, ova cinjenica nam pomaze kod odredjivanja parnosti permutacije sgn, jer vazi da ako je
(
su transpozicije) onda je
Pri cemu bi trebalo obratiti na to da predstavljanje permutacije na proizvod transpozicija nije jedinstveno, ail parnost ce uvek biti ista.
Ako permutacije
i
komutiraju, onda je
. E, ova osobina nam pomaze kod trazenja inverza jer vazi
(gde su
disjuktne, a samim tim i komutiraju). Poprilicno korisna stvar ako se jos zna i pojam reda elementa u grupi, za odredjivanje npr.
gde je
.
E ova je bas dobra, neka su
i
proizvod disjunktnih ciklova. Tada vazi
(
u stvari predstavlja konjugovanje elementa
elementom
).
Leonardo da Vinči
Nema istine u onim naukama u kojima se matematika ne primenjuje.
Milorad Stevanović
Bog postoji zato sto je matematika neprotivurečna.
Inverzna permutacija
Registrovani: 1 ( misamilanovic )
