Geometrija (Problem)

Geometrija (Problem) 19.09.2011. u 09:42 · pre 183 meseci #1

Trouglu $\triangle {ABC}$ upisana je kruznica $k(S,r)$ ,koja stranice $BC$ , $CA$ i $AB$ ,dira redom u tackama $D$ , $E$ i $F$ .Dokazati:
$\frac{AO}{DO} \cdot \frac{BO}{EO} \cdot \frac{CO}{FO} = {4R \over r}$ gdje je $R$ poluprecnik opisane ,a $r$ poluprecnik upisane kruznice trougla $\triangle {ABC}$ .

Evo dokle sam ja stigao:Primjenjujuci Van Obelovu teoremu:
$\begin{array}{rcl} \frac{AO}{DO} & = \frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} \\ \frac{BO}{EO} & = \frac{BD}{CD}+\frac{BF}{AF} \\ \frac{CO}{OF} & = \frac{CD}{DB}+\frac{CE}{AE} \\ \end{array}$
I oznacimo: $\begin{array}{rcl} \frac{AF}{BF} & = x \\ \frac{BD}{CD} & = y \\ \frac{CE}{AE} & = z \\ \end{array}$ .
Sada je $\frac{AO}{DO} \cdot \frac{BO}{EO} \cdot \frac{CO}{FO}=\left(x+{1 \over z} \Bigg) \Bigg(y+\frac{1}{x} \right) \left(\frac{1}{y}+z \right)=\frac{(xz+1)(xy+1)(yz+1)}{xyz}$ ,sad se lako dokazuje ako uzmemo da je $x=y=z=1$ dobije se: $\frac{4R}{r}=\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{6}$ , $\frac{4R}{r}=8=\frac{(xz+1)(xy+1)(yz+1)}{xyz}$ ,
Kako sad dokazati kad je trougao proizvoljan?

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Geometrija (Problem) 19.09.2011. u 09:59 · pre 183 meseci #2

Pozabaviću se kasnije, ali primeti da je $xyz=1$ zbog $AF=AE$ itd.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Geometrija (Problem) 19.09.2011. u 11:06 · pre 183 meseci #3

Ih kako to nisam primjetio pozabavicu se i ja malo kasnije,sad moram u skolu.U svakom slucaju hvala.!

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Re: Geometrija (Problem) 19.09.2011. u 15:12 · pre 183 meseci #4

Neka je $u=AE=AF$ , $v=BD=BF$ i $w=CD=CE$ . Jasno je da je $a=v+w$ , $b=u+w$ , $c=u+v$ i $s=u+v+w$ .

Iz $xy=\frac{xy}1=\frac{xy}{xyz}=z^{-1}=\frac{AE}{CE}=\frac uw$ itd. zaključujemo da se jednakost koju treba dokazati svodi na

$\frac{4R}r=(1+v/u)(1+w/v)(1+u/w)$ ,

odnosno

$2R=\frac r2\frac{(u+v)(v+w)(w+u)}{uvw}$ .

Na osnovu prethodnog i sinusne teoreme, to je ekvivalentno sa

$\frac a{\sin\alpha}=\frac r2\frac{abc}{uvw}$ ,

odnosno sa

$rP=uvw$ .

Obzirom da je $P=rs$ , sledi da je to ekvivalentno sa

$\frac{P^2}s=uvw$ .

Na osnovu Heronovog obrasca, ovo je ekvivalentno sa

$(s-a)(s-b)(s-c)=uvw$ ,

a ovo sledi iz jednakosti $u=s-a$ , $v=s-b$ i $w=s-c$ koje se lako dokazuju.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Geometrija (Problem) 20.09.2011. u 05:40 · pre 183 meseci #5

Puno fala!

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Srodne teme