Paradoks paralelograma

Neka su a i b stranice paralelograma ABCD, a d₁ i d₂ njegove dijagonale. Trouglovi ABC (sa stranicama a, b i d1) i ABD (sa stranicama a, b i d2) su jednake površine, ista stranica a i ista visina h.



Neka je H(p,q,r) Heronov obrazac za trougao čije su stranice p,q i r. Tada važi:


H(a,b,d1) = H(a,b,d2)

iz čega zaključujemo da važi:

d1=d2

tj. svaki paralelogram je ustvari pravougaonik!!!

Ako dva trogla imaju dve strane iste i visinu (tj. imaju iste povrsine) ne znaci da ce im i treca strana biti jednaka, jer to zavisi od ugla koje one zaklapaju a u ovom slucaju su to razliciti uglovi.
Tako da d1 nije jednako d2.

Ili mozda ja negde gresim?

Naravno da gresis.Kad su dijagonale kod paralelograma jednake nikad
ako su jednake onda je to pravougaonik ili kvadrat.U situaciji
koju je postavio nikolinv nisu dijagonale jednake jer posmatrajmo trouglove
ABC i ABD da bi dokazo da su dijagonale jednake moras dokazati da su
trouglovi ABC iABD podudarni znaci imamo da su ime jednake po dve stranice jednake
i sad nam fali treci element kojeg nikad necemo naci jer ga nema jer nijedan od uglova datog trougla
unutrasnjih nije isti.

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

H nije 1-1
tu gresis

Kako to mislis nije 1-1 ako mislis za visinu trouglova ABC i ABD onda onda su im visine jednake .

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

ne ti nikolinv gresi
funkcija H nije 1-1 pa iz H(a,b,d1)=H(a,b,d2) ne sledi d1=d2

Neka je F funkcija = x^2+2x.

F(-2)=F(0)

Da li to znači da je -2 jednako 0? Ne.



Google: "one to one function"

Ali funkcija H je 1-1, zašto ne bi bila?

To bi onda znacilo da dva trougla sa istim povrsinama imaju iste strane
H nije 1-1 to se moze i analiticki proveriti vrlo lako

Evo kako izgleda funkcija h(1,1,x) na intervalu (0,2). Očigledno nije 1-1.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Evo lakseg nacina za objasnjenje zasto je pravougaonik vrsta paralelograma.

Definicija paralelograma glasi: Paralelogram je cetvorougao cije su naspramne stranice paralelne.

Paralelogram ciji su svi uglovi pravi naziva se pravougli paralelogram (tj. pravougaonik)

Znaci, pravougaonik je vrsta paralelograma.

Kvadrat je specijalni pravougaonik, tj. kvadrat je pravougaonik koji ima sve stranice jednake.

Znaci, pravougaonik je vrsta paralelograma, a kvadrat je vrsta pravougaonika.

Romb je isto vrsta paralelograma cije su sve strane jednake
prosto receno romg je kosougli kvadrat.:)

Potpis

حياتي هو العلم بلدي (الرياضيات)

Heronov obrazac možemo zapisati kao:

P² = s(s-a)(s-b)(s-c), s=(a+b+c)/2
16P²=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

Potrebno je malo algebre da se pokaže da vredi:

16P²=2[(ab)²+(bc)²+(ca)²]-(a⁴+b⁴+c⁴)


Iz H(a,b,d₁)=H(a,b,d₂) imamo:

2[(ab)²+(bd₁)²+(d₁a)²]-(a⁴+b⁴+d₁⁴)=2[(ab)²+(bd₂)²+(d₂a)²]-(a⁴+b⁴+d₂⁴)

2d₁²(a²+b²)-d₁⁴=2d₂²(a²+b²)-d₂⁴

2(a²+b²)(d₁²-d₂²)=(d₁⁴-d₂⁴)

i konačno:

2(a²+b²)(d₁²-d₂²)=(d₁²+d₂²)(d₁²-d₂²)

Iz poslednjeg izraza sledi da dijagonale d₁ i d₂ nisu nužno jednake.
Kuriozitet je da ako s razlogom predpostavimo da d₁<>d₂ i poslednji izraz podelimo sa (d₁²-d₂²), dobijamo tzv. Parallelogram Law:


2(a²+b²)=(d₁²+d₂²)

Izvođenje ti nije kompletno, jer nisi dokazao da postoje i takvi da postoje i tako da je i da je takav paralelogram moguć.

Neka su i dužine ivica trougla koje zaklapaju ugao . Površina tog trougla je a preostala stranica . Ako uočimo trougao sa dvema stranicama dužina i koje zaklapaju ugao , onda je površina odgovarajućeg trougla ista, a preostala stranica je .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Nedeljko, uz svo poštovanje, mislim da se otišlo predaleko. Naime, do sada smo utvrdili aklamacijom da je u "Paradoksu" implicitno podrazumevano da je funkcija H (Heronov obrazac) ustvari 1-1. Onda si ti grafikom pokazao da funkcija H(1,1,x) nije 1-1. Moje poslednje izvođenje dokazuje to isto, samo opštije, tj. za funkciju H(a,b,x), tako da je ovo čisto algebarski problem, pa ne treba dokazivati egzistenciju nikakvog paralelograma, jer smo geometriju isključili iz rasprave, zar ne?

Neki su vec pominjali paradoks u matematici...i bili su banovani. Nedeljko je lepo objasnio na toj temi, da paradoks u matematici ne postoji. Bilo bi glupo da se opet vracamo na to. Cisto da znas sta bi moglo da te snadje.

Po Bojanovom obrazloženju, nisu banovani zbog onoga o čemu su pričali, već zbog toga kako su pričali.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ovu tvoju tvrdnju bih uzeo sa rezervom.
Mi ovde govorimo o Euklidskoj geometriji i relativno malim geometrijskim figurama.
Npr. paradoks moze biti da zbir uglova u trouglu nije uvek 180 stepeni ili da Pitagorina teorema ne vazi bas za sve trouglove i u svim slucajevima.
Ali ovi paradoksi (ili mozda je bolje reci specijalni slucajevi) su vec prouceni i dokazani, pa zato i nisu paradoksi, ali ako su neki postojali sa kojom verovatnocom mozemo tvrditi da vise ne postoji ni jedan paradoks?
Revolucija koja je u matematici napravljena, i u fizici, koja je nastala otkrićem teorije relativnosti i kvantne mehanike a kojoj je prethodilo otkrice ne-Euklidskih geometrija je dovela do nekih paradoska u matematici koji do tada nisu bili poznati.

Pa dobro i ja sam malo bio zbunjen zato sto je Nedeljko utvrdio da su matematicka i filozofska logika isto, a onda, da paradoks u matematici ne postoji. A filozofska logika priznaje postojanje paradoksa. (Inace ta rec ne bi ni postojala?). Samo sam hteo da upozorim korisnika nikolinv da su neki bili banovani zato sto su tvrdili da postoji paradoks u matematici, kako god, i na koji nacin oni to rekli, jer mozda nije procitao tu temu.

Ne, banovani su jer nisu znali da navedu primer a tvrdili su da paradoksi postoje
Ja sam naveo cak 2 primera, pa se nadam da nisam kandidat za banovanje