Rjesavanje integrala metodom zamjene

Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 20:10 · pre 191 mesec #1

(1/x^2)sin^2(1/x^2)dx=

Pokusavao sam smjenu da je 1/x=t i 1/x^2=t al ni jedna od tih ne odgovara da se dobije jednostavniji integral za rijestit, a rjesenje je
cos1/x+c. Pokusavao sam rjesavnje na wolframalpha.com al ne daje rjesenje koje je u knjizi.
hvala i pozdrav.

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 20:33 · pre 191 mesec #2

Ovako je tacno to resenje $\int \frac{\text{Sin}\left(\frac{1}{x}\right)}{x^2} \, dx=\text{Cos}\left(\frac{1}{x}\right)+c$

A ovaj $\int \frac{\text{Sin}^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2} \, dx$ se ne moze resiti preko elementarnih funkcija, jer bi se posle tvoje smene dobio

$-\int \text{Sin}^2\left(t^2\right)\text{dt}$
A to se svodi na Frenelov integral, koji je specijalna f-ja, a pretpostavljam da to nisi ucio.
Negde je greska, ili u postavci ili zbirka laze :)

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

1

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 20:42 · pre 191 mesec #3

Moguce da je greska u zbirci, a nisam cuo za tu vrstu integrala koju si pomenuo, ipak hvala na pomoci.

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 20:51 · pre 191 mesec #4

Steta sto profesori ne pomenu (ili pomenu) ove karakteristicne "ne resive" integrale tj. ne mogu se dobiti preko elementarnih f-ja :

$\int \frac{e^x}{x}\text{dx} , \int \frac{e^{-x}}{x}\text{dx}, \int e^{-x^2}\text{dx}, \int e^{x^2}\text{dx}, \int \frac{\sin (x)}{x}\text{dx}, \int \frac{\cos (x)}{x}\text{dx}, \int \sin \left(x^2\right)\text{dx}, \int \cos \left(x^2\right)\text{dx},\int \frac{1}{\ln (x)}\text{dx}, \int \frac{1}{\log _ax}\text{dx}, \int x^x\text{dx}, \int e^{e^x}\text{dx}$
i sve koji se svode na ove.
Ako negde vidis ove, BEZI!

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

1

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 21:00 · pre 191 mesec #5

Pomenu neki

. Meni je malo falilo da ih rešavam par dana

.

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 21:04 · pre 191 mesec #6

Naravno da pomenu, ali ne i svi, po meni je ova lista bitna kao i metod smene ili neki drugi.
To je metod "da se ne mucis dzabe" :)

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 21:21 · pre 191 mesec #7

Kad smo vec kod neresivih integrala, evo jedne mudrosti, tj. sto bi rekao jedan moj profa sa faksa: Kad vidis $\pi$ u resenju integrala koji nema trigonometrijske funkcije - bezi! :)

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

2

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 23:01 · pre 191 mesec #8

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\pi$ .

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 09.02.2011. u 23:12 · pre 191 mesec #9

hahahahahaha
ali tu je ipak resenje ArcTan sto je trig. f-ja.
$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^2}\text{dx}==\sqrt{\pi }$

$\int _0^{\infty }\int _0^{\infty }\frac{e^{-x-y}}{\sqrt{x y}}dxdy==\pi$

Potpis

A mathematician is a blind man in a dark room looking for a black cat which isn't there.

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 10.02.2011. u 07:14 · pre 191 mesec #10

Pa dobro, arctg je inverzna trigonometrijska funkcija (ciklometrijska), a ne trigonometrijska u užem smislu :).

Još jedan interesantan primer:

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{e^x - 1} dx = \frac{{\pi}^2}{6}$

Mada kod neodređenog integrala ovde se koristi i specijalna funkcija.

Re: Rjesavanje integrala metodom zamjene 10.02.2011. u 10:18 · pre 191 mesec #11

Dobro ljudi, ovo je vise bila sala.

Potpis

If you can't explain it simply, you don't understand it well enough. A. Einstein

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme