[es] - Djeljivost - teorija brojeva

Forest cat

Član broj: 272995
Poruke: 6
62.113.3.*

Profil

^{15.11.2010. u 13:37 - pre 163 meseci}

Molim pomoć oko ovoga zadatka:
Ako je šestocifren broj djeljiv sa 7, onda se premještanjem zadnje cifre na prvo mjesto dobije broj djeljiv sa 7. Dokazati.

Odgovor na temu

djoka_l
Beograd

Član broj: 56075
Poruke: 3453

Jabber: djoka_l

+1462 Profil

Re: Djeljivost - teorija brojeva

^{15.11.2010. u 14:35 - pre 163 meseci}

Operacija MOD ima sledeće osobine (pišem u programerskoj notaciji):

MOD(a+b, n) = MOD( MOD(a,n) + MOD(b,n) , n)
MOD(a*b, n) = MOD( MOD(a,n) * MOD(b,n) , n)

Šestocifreni broj n možemo napisati u obliku 10*p + q, gre je q poslednja cifra, a p prvih 5 cifara. Stavljanjem poslednje cifre na prvo mesto dobijamo broj k=p+100000q. Treba dokazati da je broj k deljiv sa 7 ako je n deljiv sa sedam.

MOD(n,7) = 0, pa je i MOD(10*p + q, 7)=0
MOD(MOD(MOD(10,7)*MOD(p,7) , 7)+MOD(q,7),7)=0
Označiću zbog kraćeg pisanja MOD(p,7) sa mp, MOD(q,7) sa mq, a znake + i * upotrebiću u smislu "sabiranje po modulu 7" i "množenje po modulu 7", pa gornji izraz mogu kraće da napišem kao

1) 3*mp + mq = 0

Dalje, MOD(p+100000q,7) = mp + 5*mq

iz 1) sledi da je mq=-3*mp pa je

mp + 5*mq = mp + 5*( -3 * mp) = mp - (5*3)*mp = 0 (jer je mod(5*3, 7) = 1, pa se izraz svede na mp - mp)

što je i trebalo dokazati

Dopuna: Operaciju "-" treba shvatiti kao sabiranje sa inverznim elementom u polju ({0,1,2,3,4,5,6}, +, *) gde su "+" i "*" operacije sabiranja po modulu 7 i operacija množenja po modulu 7.

_{[Ovu poruku je menjao djoka_l dana 15.11.2010. u 15:52 GMT+1]}

Odgovor na temu

Forest cat

Član broj: 272995
Poruke: 6
62.113.2.*

Profil

Re: Djeljivost - teorija brojeva

^{17.11.2010. u 18:09 - pre 163 meseci}

Hvala puno na trudu ali nikako ja da shvatim ovo...baš zato jer je rađeno, kako si rekao, u programerskoj notaciji.
Prisjetila sam se Pascala malo, ali...ne ide...trebala bih baš matematički dokaz.

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
212.200.65.*

+2789 Profil

Re: Djeljivost - teorija brojeva

^{17.11.2010. u 19:16 - pre 163 meseci}

Neka je a dati šestocifren broj, b broj čiji se zapis sastoji od prvih 5 cifara broja a, a c poslednja cifra. Dakle, a=10b+c.

Po pretpostavci je a=10b+c deljivo sa 7. Premeštanjem poslednje cifre na prvo mesto dobija se broj 100000c+b. Treba dokazati da je on deljiv sa 7.

3b+c=a-7b, pa je 3b+c deljiv sa 7.
b+5c=5(3b+c)-14b=5a-49b, pa je b+5c deljiv sa 7.
100000c+b=b+5c+99995b=5a+99946b=5a+7*14278b, što je trebalo dokazati.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu

Forest cat

Član broj: 272995
Poruke: 6
62.113.3.*

Profil

Re: Djeljivost - teorija brojeva

^{18.11.2010. u 12:01 - pre 163 meseci}

Eee super je dokaz, što je najvažnije razumljiv je...a i jako interesantan. :-D
Hvala puno.

Odgovor na temu

atelago

Član broj: 265415
Poruke: 776
*.dynamic.sbb.rs.

+53 Profil

Re: Djeljivost - teorija brojeva

^{21.11.2010. u 13:53 - pre 163 meseci}

Nedeljko, molim te pogledaj ovo i prokomentariši.
Ja sam, ne gledajući vaša rešenja o deljivosti hteo sam da nađem način kako da odredim da li je neki broj deljiv sa 7.
Da ne pišem kako sam došao do toga – samo ću navesti postupak do koga sam došao jer možda taj postupak i nije
ispravan pa me koriguj ako je tako:

Ako tražimo da li je zadati broj deljiv sa 7 onda ga pomnožimo sa 3/7 pa ako je proizvod deljiv sa 3 onda je i zadati

broj deljiv sa 7

Odgovor na temu

Nedeljko
Nedeljko Stefanović

Član broj: 314
Poruke: 8632
212.200.65.*

+2789 Profil

Re: Djeljivost - teorija brojeva

^{21.11.2010. u 14:54 - pre 163 meseci}

Što se množenja sa 3 tiče, broj n je deljiv sa 7 akko je broj 3n/7 ceo. To je zato što su 3 i 7 uzajamno prosti.

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Odgovor na temu