Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta

Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 14.02.2008. u 01:31 · pre 227 meseci #1

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+div\vec{j}=0$

Ako imam stacionarna stanja imam da mi je

$div\vec{j}=0$

Kako to da tumacim?

U KM od Leonarda Sifa stoji da se $\rho$ moze meriti, a $\vec{j}$ ne. Zasto?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 14.02.2008. u 17:34 · pre 227 meseci #2

Jednacina kontinuiteta u kvantnoj se odnosu na verovatnocu.
divj je divergencija struje verovatnoce, a ovde si pomesao malo pojmove.
rot je za definiciju dali je neka linija zatvorena ili ne.
divergencija ukazuje na to dali u datoj tacki prostora postoji ponor ili izvor verovatnoce.

Da li to znaci da su mi putanje cestica zatvorene?
Izbaci iz glave pojam putanje u okviru kvantne mehanike.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 14.02.2008. u 19:10 · pre 227 meseci #3

Da da greska! Hvala! Ispravicu!

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 15.02.2008. u 19:51 · pre 227 meseci #4

Ali ono sto je vrlo zanimljivo je sledece:
Imali smo jednu raspravu oko toga da kad nema magnetnog polja funkcija stanja je realna.
http://www.elitesecurity.org/t304056-Realna-funkcija-stanja

Mislim da mozda postoji jednostavniji odgovor na to od ovog tomkeusovog!

Naime

$rot\vec{B}=\mu_{0}\vec{j}$

I to iskombinujem sa

$\vec{j}=\frac{\hbar}{2i\mu}(\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*})$

Znaci ako nema magnetskog polja

$\vec{j}=\vec{0}$

A samim tim je talasna fja realna iz druge jednakosti! Zar ne?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 16.02.2008. u 00:46 · pre 227 meseci #5

Prvo mala ispravka

$\vec{j}=\frac{e\hbar}{2im}(\psi^*\nabla\psi -\psi\nabla\psi^*)$

Drugo

$\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{j}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

Kada nema magnetnog polja možemo samo da kažemo da je $\mu_0\vec{j}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$ , što kada napadnemo divergencijom daje $\mu_0\nabla\cdot\vec{j}=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\vec{E}$ . Ako iskoristimo Meksvelovu jednačinu $\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ , i ubacimo u prethodnu dobićemo posle malog sređivanja $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0$ , pri čemu je uzeto u obzir da je $\frac{1}{c^2}=\epsilon_0\mu_0$ . Dakle, reprodukovala se jednačina kontinuiteta, tako da nam Meksvelove jednačine ne pomažu da postanemo pametniji po pitanju talasnih funkcija kada nema magnetnog polja.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 16.02.2008. u 01:52 · pre 227 meseci #6

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=\frac{\partial\psi^{*}}{\partial t}\psi+\psi^{*}\frac{\partial\psi}{\partial t}$

Konjugujem SJ. Mnozim sa $\psi^{*}$ nekonjugovanu i sa $\psi$ konjugovanu SJ. Oduzmem ih i dobijem

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\hbar}{2i\mu}(\psi^{*}\Delta\psi-\psi\Delta\psi^{*})=0$

Kad to uporedim sa jednacinom kontinuiteta dobijem

$\vec{j}=\frac{\hbar}{2i\mu}(\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*})$

Kako ti dobijes to $e$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 16.02.2008. u 01:56 · pre 227 meseci #7

U Meksvelovim jednačinama imamo gustine električnih struja i gustine naelektrisanja, koji se iz gustine verovatnoće i struje gustine verovatnoće dobijaju množenjem sa naelektrisanjem e. Ti nisi napravio razliku između gustine električne struje u Meksvelovim jednačinama i struje gustine verovatnoće tako da sam napomenuo za svaki slučaj.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 16.02.2008. u 02:10 · pre 227 meseci #8

Da skroz sam pobrkao

A kako se dobije ova veza $\vec{j}=\frac{e\hbar}{2im}(\psi^*\nabla\psi -\psi\nabla\psi^*)$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 16.02.2008. u 03:38 · pre 227 meseci #9

Vrlo je logično. Samo usvoji sliku elektrona "razmazanog" u skladu sa verovatnoćom nalaženja. Gustina naelektrisanja je tada prosto proporcionalna gustini verovatnoće nalaženja elektrona. Ista priča je i za gustinu struje.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 19.02.2008. u 16:10 · pre 227 meseci #10

Kod resavanja svojstvenog problema opservable koordinate dobija se

$\psi(\vec{r})=\delta(\vec{r}-\vec{\xi})$

Kako da izracunam gustinu struje verovatnoce za ovu fju stanja $\psi$ ?

$\vec{j}=\frac{\hbar}{2i\mu}(\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*})$

Sta mi je $\nabla\psi$ ?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 29.02.2008. u 15:17 · pre 227 meseci #11

Pokušavaš da izračunaš gustinu struje verovatnoće u stanju sa maksimalno neodređenim impulsom, zapravo sa beskonačno neodređenim impulsom. Na taj način ćeš dobiti divergentnu gustinu.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 01.03.2008. u 16:58 · pre 227 meseci #12

Tomkeus nisam bas siguran da sam razumeo sta si napisao? Sta ti znaci to sa maksimalno neodredjenim impulsom? A u ovom slucaju necu dobiti divergentnu gustinu!

$\psi(\vec{r},t)=R(\vec{r},t)e^{i\phi(\vec{r},t)}$

Kad izracunam $\vec{j}$ dobijem

$\vec{j}=\frac{\hbar}{\mu}R^{2}\nabla\phi$

Odatle se vidi da je gustina struje verovatnoce za realnu fju $0$

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 01.03.2008. u 19:31 · pre 227 meseci #13

Stanja su ti zadata sa

$\psi(\vec{r})=\delta(\vec{r}-\vec{a})$

Ovo predstavlja stanje u kome je čestica sa koordinatom $\vec{a}$ , pri čemu je neodređenost koordinate 0 (tj. čestica je strogo lokalizovana). Iz relacija neodređenosti odmah sledi da je neodređenost impulsa beskonačna.

Delta funkcija nije funkcija tako da ne možeš da primeniš taj rezon na nju. Ono što možeš je da je razviješ na ravne talase tako da imaš

$\delta(\vec{r}-\vec{a})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{\mathbb{R}^3} \mathrm{e}^{i\vec{a}\vec{k}}\mathrm{e}^{-i\vec{r}\vec{k}}d^3 \vec{k}$

Kako je

$\nabla\psi(\vec{r})=\nabla\left(\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{\mathbb{R}^3} \mathrm{e}^{i\vec{a}\vec{k}}\mathrm{e}^{-i\vec{r}\vec{k}}d^3 \vec{k}\right)=-\frac{i}{(2\pi)^3}\int_{\mathbb{R}^3} \vec{k}\mathrm{e}^{i\vec{a}\vec{k}}\mathrm{e}^{-i\vec{r}\vec{k}}d^3 \vec{k}$

Tada je

$\psi*\nabla\psi=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{\mathbb{R}^3} \mathrm{e}^{-i\vec{a}\vec{k}}\mathrm{e}^{i\vec{r}\vec{k}}d^3 \vec{k}\left(-\frac{i}{(2\pi)^3}\int_{\mathbb{R}^3} \vec{k'}\mathrm{e}^{i\vec{a}\vec{k}'}\mathrm{e}^{-i\vec{r}\vec{k}'}d^3 \vec{k}'\right)=-\frac{i}{(2\pi)^6}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\mathbb{R}^3}\vec{k}'\mathrm{e}^{i\vec{a}(\vec{k}'-\vec{k})}\mathrm{e}^{-i\vec{r}(\vec{k}'-\vec{k})}d^3\vec{k}d^3\vec{k}'$

i slično

$\psi\nabla\psi*=\frac{i}{(2\pi)^6}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\mathbb{R}^3}\vec{k}'\mathrm{e}^{i\vec{a}(\vec{k}-\vec{k}')}\mathrm{e}^{-i\vec{r}(\vec{k}-\vec{k}')}d^3\vec{k}d^3\vec{k}'$

Kada se u drugom integralu promene oznake ( $\vec{k}\rightarrow\vec{k}'$ i $\vec{k}'\rightarrow\vec{k}$ ) i potom sve stavi pod jedan integral, imaćemo

$\psi*\nabla\psi-\psi\nabla\psi*=-\frac{i}{(2\pi)^6}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\mathbb{R}^3}(\vec{k}'+\vec{k})\mathrm{e}^{i\vec{a}(\vec{k}'-\vec{k})}\mathrm{e}^{-i\vec{r}(\vec{k}'-\vec{k})}d^3\vec{k}d^3\vec{k}'$

što je divergentno.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 01.03.2008. u 21:04 · pre 227 meseci #14

Citat:

tomkeus: Na taj način ćeš dobiti divergentnu gustinu.

Kako ovo da fizicki tumacim? Divergentna gustina struje! Jel postoji neki klasicni analogon?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 01.03.2008. u 22:07 · pre 227 meseci #15

Citat:

petarm: Kako ovo da fizicki tumacim? Divergentna gustina struje! Jel postoji neki klasicni analogon?

Pa, ako zamisliš klasičnu česticu koja istovremeno ima sve moguće vrednosti impulsa, onda postoji.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 01.03.2008. u 23:18 · pre 227 meseci #16

Kako to interpretirati kvantno mehanicki? Daj mi bilo kakvu strogu fizicku interpretaciju?

Kad radim svojstveni problem opservable impulsa i izracunam gustine verovatnoce za datu fju stanja ne dobijem da ona divergira. Kad bi zaboravili na matematiku da li bi ti to mogao da zakljucis bez ikakvog izracunavanja i kako?

Ovo je prilicno sokantno za mene! U prvi mah ovako nesto ne mogu da prihvatim. Buni me... Da li postoji i jedna knjiga iz KM u kojoj je ovo razmatrano?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 02.03.2008. u 00:16 · pre 227 meseci #17

Mislim da je intuitivno prilično jasno. Poprilično direktna posledica relacija neodređenosti. Impuls čestice može uzimati sve vrednosti između $-\infty$ do $\infty$ sa podjednakom verovatnoćom. U takvoj situaciji je nemoguće očekivati neku određenu vrednost struje, te stoga i izraz divergira. Kada kažem da izraz divergira, ne želim da kažem da je beskonačan, već da prosto nema određenu vrednost (poput $\sin x$ kada $x\rightarrow\infty$ ).

Kakvom bi to eksperimentu odgovaralo? Kada smo izmerili da je čestica u stanju $\delta(\vec{r}-\vec{a})$ mi smo to uradili tako što smo izveli eksperiment kojim smo maksimalno lokalizovali česticu (iako je to praktično nemoguće), a kao što znamo još iz srednje škole, izvođenje takvog eksperimenta nas sprečava da izmerimo bilo šta što je povezano sa impulsom, što je u ovom slučaju struja, koja je za impuls vezana relacijom $\vec{j}=\frac{\vec{p}}{m}$ .

Skroz je druga stvar ako uzmemo stanje $\mathrm{e}^{i\vec{k}\vec{r}}$ . Eksperiment kojim smo ustanovili da je čestica u ovom stanju je koncipiran tako da maksimalno precizno odredi njen impuls što automatski isključuje bilo kakvo merenje bilo čega povezanog sa položajem. Kao posledicu ćemo imati lepo definisanu struju $\frac{\hbar\vec{k}}{m}$ , ali ćemo imati problema sa verovatnoćom nalaženja čestice u prostoru (problem ravnih talasa o kome smo jedanput već pričali).

Dakle, relacije neodređenosti na delu.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 02.03.2008. u 00:33 · pre 227 meseci #18

Da zvuci logicno sad kad sam procitao ovaj tvoj poslednji post. Shvatam sta hoces da kazes. Mozes li samo malo detaljnije da pokazes zasto ovo divergira

$\psi*\nabla\psi-\psi\nabla\psi*=-\frac{i}{(2\pi)^6}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\mathbb{R}^3}(\vec{k}'+\vec{k})\mathrm{e}^{i\vec{a}(\vec{k}'-\vec{k})}\mathrm{e}^{-i\vec{r}(\vec{k}'-\vec{k})}d^3\vec{k}d^3\vec{k}'$ ?

I ono sto me jos malo buni. Ako ne uzmem $\delta$ funkciju vec neku realnu fju vektora polozaja i neka sam maksimalno lokalizovao cesticu ja cu ipak moci precizno da odredim $\vec{j}$ (nece mi divergirati). $\vec{j}=\vec{0}$
A kada dobijem $div\vec{j}=0$ odnosno $\vec{j}=\vec{const}$ , da li i to tumacis neodredjenoscu, ali ne kazes da divergira...?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 02.03.2008. u 01:08 · pre 227 meseci #19

Citat:

petarm: Da zvuci logicno sad kad sam procitao ovaj tvoj poslednji post. Shvatam sta hoces da kazes. Mozes li samo malo detaljnije da pokazes zasto ovo divergira

$\psi*\nabla\psi-\psi\nabla\psi*=-\frac{i}{(2\pi)^6}\int_{\mathbb{R}^3}\int_{\mathbb{R}^3}(\vec{k}'+\vec{k})\mathrm{e}^{i\vec{a}(\vec{k}'-\vec{k})}\mathrm{e}^{-i\vec{r}(\vec{k}'-\vec{k})}d^3\vec{k}d^3\vec{k}'$ ?

Raspiši integral kao 6 integrala i napiši eksponencijalne funkcije preko trigonometrijskih funkcija, videćeš da se dobija gomila izraza tipa $0\cdot\infty$ ili tipa $x\sin{x}$ gde $x\rightarrow\infty$ i sl. i mislim da će se poprilično jasno videti da je integral divergentan.

Citat:

petarm: I ono sto me jos malo buni. Ako ne uzmem $\delta$ funkciju vec neku realnu fju vektora polozaja i neka sam maksimalno lokalizovao cesticu ja cu ipak moci precizno da odredim $\vec{j}$ (nece mi divergirati). $\vec{j}=\vec{0}$
A kada dobijem $div\vec{j}=0$ odnosno $\vec{j}=\vec{const}$ , da li i to tumacis neodredjenoscu, ali ne kazes da divergira...?

Ako si maksimalno lokalizovao česticu, njen vektor stanja u koordinatnoj reprezentaciji će biti predstavljen delta funkcijom i samo delta funkcijom. Ne možeš uzeti neku drugu realnu funkciju.

Re: Kvantno mehanicka jednacina kontinuiteta 02.03.2008. u 02:19 · pre 227 meseci #20

OK. Hvala!

Samo jos jedna stvar. Nisam maksimalno lokalizovao cesticu. Imam neku talasnu fju $\psi(\vec{r})$ . Ipak hocu da uocim relacije neodredjenosti. Posto nisam maksimalno lokalizovao cesticu gustina struje mi nece divergirati. Ali bih zeleo da i za ovaj slucaj pokusam da uocim relacije neodredjenosti, ali cini se da je to preko ovih izraza uocljivo samo kada imam maksimalno lokalizovanu cesticu. $\vec{j}=\frac{\vec{p}}{\mu}$ . Da li bih ja posmatrajuci izraz za gustinu struje verovatnoce i ako imam nemaksimalno lokalizovanu cesticu mogao da uocim relacije neodredjenosti?

Potpis

http://www.svijetfizike.com/

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme