Jedan zadatak vezan za nizove

Jedan zadatak vezan za nizove 11.10.2007. u 23:44 · pre 231 meseci #1

Zadatak glasi ovako:

Neka je niz ${a_{n}},n \in N$ ,definisan na sledeci nacin: $a_{n}=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{9}{a_{n-1}})$ i $a_{0}=1$ Pokazati da je niz konvergentan i naci njegovu granicnu vrednost.

Da li neko moze da mi detaljno uradi ovaj zadatak jer ja stvarno ne znam ni da pocnem. Hvala!

Potpis

Eureka!

MILAN DJUKIC
D J U K A

Re: Jedan zadatak vezan za nizove 12.10.2007. u 02:07 · pre 231 meseci #2

Rekurentnu formulu $a_n=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{9}{a_{n-1}}\right)$ možemo napisati u obliku $a_n=\frac{a^2_{n-1}+9}{2a_{n-1}}$ . Odavde se vidi da ako je $a_{n-1}>0$ , tada je takođe i $a_n>0$ . Pošto je nulti član niza $a_0>0$ , iz toga proizilazi da su svi članovi datog niza pozitivni.

Ako bi se analizirala funkcija $f(x)=\frac{x^2+9}{2x}$ , za $x>0$ , videlo bi se da ta funkcija ima minimum u tački $(x,y)=(3,3)$ , tj. da je za svako $x\ne 3$ , vrednost funkcije veća od $3$ .

Prema tome,

$a_n\ge 3$ , za $n\ge 1$

S obzirom da je niz $a_n$ ograničen sa donje strane, da bi se dokazala njegova konvergentnost, dovoljno je pokazati da je $a_n<a_{n-1}$ .

$\frac{a^2_{n-1}+9}{2a_{n-1}}<a_{n-1}$

$a^2_{n-1}+9<2a^2_{n-1}$

$a^2_{n-1}>9$

$a_{n-1}>3$

A za $a_{n-1}=3$ imaćemo slučaj $a_{n-1}=a_n=3$ .

Treba pokazati da je $3$ granična vrednost tog niza:

$\lim_{n\to\infty}\left(a_n-a_{n-1}\right)=0$

$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a^2_{n-1}+9}{2a_{n-1}}-a_{n-1}\right)=0$

$\lim_{n\to\infty}\left(a^2_{n-1}+9-2a^2_{n-1}\right)=0$

$\lim_{n\to\infty}\left(9-a^2_{n-1}\right)=0$

$\lim_{n\to\infty}\left(3-a_{n-1}\right)\left(3+a_{n-1}\right)=0$

$\lim_{n\to\infty}\left(3-a_{n-1}\right)=0$

$3-\lim_{n\to\infty}a_{n-1}=0$

$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n-1}=3$

Re: Jedan zadatak vezan za nizove 12.10.2007. u 09:34 · pre 231 meseci #3

Fali ti još obrazloženje jednakosti $\lim_{n\rightarrow+\infty}(a_n-a_{n-1})=0.$ To je zato što je niz $(a_n)){n\in N}$ opadajući i odozdo ograničen (3 mu je donja međa), pa je konvergentan i otuda važi ta jednakost. Sa ovim je rešenje kompletno uz napomene koje si dao.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Re: Jedan zadatak vezan za nizove 12.10.2007. u 12:58 · pre 231 meseci #4

Ili malo uopstenje:

Ukoliko niz $(x_n)$ definisemo kao $x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + \frac{a}{x_n})$ gde je $x_1, a > 0$ , tada je $\lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt{a}$ .

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Re: Jedan zadatak vezan za nizove 14.10.2007. u 21:05 · pre 231 meseci #5

Davno bese, ali to je bese njutnovna iteraciona formula za racunanje kvadratnog korena :). A i mislim da moze da se primeni nesto oko fiksne tacke :).

Mada bolje da se puno ne prisecam ali ovo je lako neko je vec postavio funkciju pa kada izjednacis to sa x ${{x^2+a}\over{2x}}=x$ i kada malo resis dobijes $a=x^2$ .

Potpis

CHUPCKO

Srodne teme