Zadacici iz Linearne Algebre

Zadacici iz Linearne Algebre 18.09.2007. u 22:23 · pre 233 meseca #1

Ovih dana radim gore navedenu temu, pa rekoh da postavim neke zadatke koje ne znam ili smatram da su "lepi" pa da ih podelim sa vama :).
Za pocetak, evo jednog koji (nazalost) nisam uradio.

Neka je $P_n [t]$ skup svih realnih polinoma stepena manjeg ili nednakog $n$ . Zatim neka su $k_1, k_2 \in N$ takvi da je $0 < k_1 < k_2 < n$ i $a_1,...,a_{k_2} \in R$ . Oznacimo sa:
$Q_1 = \{ p(t) \in P_n [t] | p(a_1) = ... = p(a_{k_1}) = 0 \}$
$Q_2 = \{ p(t) \in P_n [t] | p(a_1) = ... = p(a_{k_1})=...=p(a_{k_2})= 0 \}$
Naci bazu prostora $Q_1$ i kolicnickog prostora $Q_1 / Q_2$ .

Baza za $Q_1$ je oblika ${A,At,..,At^{n - k_1}$ , gde je $A=(t-a_1)...(t-a_{k_1})$ , ali nikako da lepo napenalim za ovo drugo.

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Re: Zadacici iz Linearne Algebre 19.09.2007. u 00:33 · pre 233 meseca #2

Evo ti mala pomoć:

za svako $p\in Q_1$ postoje neki $q$ i $r$ (pri čemu je stepen od $r$ strogo manji od $k_2-k_1$ ) tako da važi $p=A\cdot(q\cdot\prod_{i=k_1+1}^{k_2}(t-a_i)+r)$ .
Sada je trivijalno pokazati da je $[A + Q_2, At + Q_2,\ldots,At^{k_2-k_1-1} + Q_2]$ baza prostora $Q_1/Q_2$ .

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Zadacici iz Linearne Algebre 19.09.2007. u 01:41 · pre 233 meseca #3

Hvala, uradio sam ga.
Samo nesto mi nije jasno. Kad sam video koju si bazu napisao - shvatio sam, ali ne vidim kako si ti dosao do nje preko ovih $q, r$ .

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Re: Zadacici iz Linearne Algebre 19.09.2007. u 02:51 · pre 233 meseca #4

Nisam sasvim siguran da razumem šta pitaš... nadam se da si iskoristio ono razlaganje sa q i r u dokazu da je onaj sistem vektora baza ...
A ako pitaš otkud sam znao šta da tražim za bazu, odgovor je relativno jednostavan.

Postoji teorema koja kaže da kad god je v.p. $V$ direktna suma svojih potprostora $U$ i $W$ , onda je $V/U$ izomorfno sa $W$ .

Zatim, jedna druga teorema kaže da je svaki konačnodimenzioni v.p. $V$ direktna suma proizvoljnog svog potprostora $U$ i nekog odgovarajućeg potprostora $W$ .

Najzad, iz prethodne dve teoreme i Grasmanove formule sledi i da je $\dim V/U = \dim V - \dim U$ .

Dakle, ono razlaganje je smišljeno tek nakon što sam video šta bi trebalo da bude baza, a sve za potrebe dokaza da je onaj sistem vektora između ostalog i generatrisa prostora $Q_1/Q_2$
Hope this helps

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Zadacici iz Linearne Algebre 19.09.2007. u 03:20 · pre 233 meseca #5

Da, da naravno.
Ja sam pokusao da dopunim bazu od $Q_2$ do $Q_1$ ali nisam odmah video. Izvinjavam se zbog brzopletosti :)

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Re: Zadacici iz Linearne Algebre 27.09.2007. u 15:06 · pre 232 meseca #6

Evo jos dva pitanjca :)

[1] Ako je $A \in End(V)$ proektor ( $A^2=A$ ) tada je $Tr(A) = rank(A)$ .

Ja sam nesto kao pokusavao ali nista. CaNeka ideja je da ako je $A^2=A$ tada je $(I-A)^2 =I-A$ . Imamo da je $V=Ker(A) \oplus Im(A)$ (to vazi za $A \in End(V)$ akko je $A^2(V)=A(V)$ ) i $V=Ker(I - A) \oplus Im(I - A)$ . Iz ovoga mozemo pokazati da je $V = Ker (A) \oplus Ker(I-A)$ tj. $V = Ker (A) \oplus Ker(kI-A)$ . Pokusavao sam nesto da napenalim sa ovim $k$ ali nista
Ovu ideju sam nasao negde i kao direktna posledica ovog gore sledi resenje.

Kad malo bolje razmislim, kako moze da $Tr(A)$ koji je iz polja $K$ i $rank(A)$ koji je prirodan broj budu jednaki? Jel ovo gore vazi i ako vazi kad vazi?

[2] Neka je $A\in End(V)$ . $P_{A}\subseteq End(V)$ se definise kao $P_{A}=\{B\in End(V) | AB = 0\}$ . Pokazati da se svaki podprostor od $End(V)$ moze predstaviti kao $P_{A}$ za neko $A\in End(V)$ .

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Re: Zadacici iz Linearne Algebre 29.09.2007. u 11:28 · pre 232 meseca #7

Strogo govoreći, u pravu si, ali slobodno možeš da zamisliš da je pisalo $Tr\, A = (rank\, A)\cdot 1_K$

Ključnu stvar si primetio: $V=Ker A \oplus Im A$ , sad lepo uočiš bazu od $V$ dobijenu spajanjem baza tih potprostora, i pronađeš matricu projektora u odnosu na tu bazu [ ne zaboravi da upotrebiš idempotentnost od $A$ ]... da ne otkrivam kakva će biti matrica

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: Zadacici iz Linearne Algebre 02.10.2007. u 18:11 · pre 232 meseca #8

Done and tnx :)

Potpis

Math is like love. A simple idea but it can get complicated.

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme