Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.

Nematematicari pitaju

[es] :: Matematika :: Nematematicari pitaju

Strane: 1 2

[ Pregleda: 8390 | Odgovora: 37 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Autor

Pretraga teme: Traži
Markiranje Štampanje RSS

[email protected]

Član broj: 81985
Poruke: 1076
212.200.220.*



+3 Profil

icon Nematematicari pitaju30.03.2007. u 08:39 - pre 177 meseci

Kako se u principu definišu različitosti među krivim linijama međusobno, ili kako se definiše različitost između krive i prave linije suštinski.
Ako presečemo list papira na dva dela pravom linijom, onda će dužina preseka na jednom delu papira biti jednaka dužini preseka na
drugom delu papira.
Ako, međutim, iz papira isečemo krug - da li je obim kruga jednak obimu rupe u papiru?
Ako jeste onda kružnica nije kriva linija, a ako nije za koliko se ti obimi razlikuju i kako te razlike zavise od oblika i veličine krivih?

 
Odgovor na temu

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 1879
*.ns.ac.yu.



+33 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju30.03.2007. u 09:28 - pre 177 meseci
Prava je za mene kriva linija kojoj poluprecnik krivine tezi beskonacno.
 
Odgovor na temu

zoran_dojkic

Član broj: 105358
Poruke: 1684
PPP-02-71.beobug.com.



+35 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju30.03.2007. u 11:07 - pre 177 meseci
Tačka, u matematici, nema veličinu, linija i površina nemaju debljinu. To su matematički aksiomi.
Sečenje papira je neka druga nauka. U mašinstvu postoji pojam Tolerancija mere. Krug isečen iz lista papira ima manji prečnik od prečnika rupe koja je ostala u listu. Dimenzije se označavaju milimetrima, tako da bi i prečnik isečenog kruga i prečnik rupe na crtežu bio označen istom merom (cifrom), ali bi u toleranciji (odstupanju od mere) bilo naznačeno da je krug "mera minus određeni deo mm", a rupa "mera plus određeni deo mm). Ovo je uprošćeno objašnjenje za one koji nisu upućeni u Tolerancije mere.
Kriva linija čiji poluprečnik krivine teži beskonačnom je kriva linija.

[Ovu poruku je menjao zoran_dojkic dana 01.04.2007. u 13:18 GMT+1]
 
Odgovor na temu

Kolins Balaban
Kolins Balaban
Srednja bosna

Član broj: 4847
Poruke: 1318
*.team.ba.

ICQ: 166070540


+8 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju30.03.2007. u 13:09 - pre 177 meseci
hmmmm "Kriva linija čiji poluprečnik krivine teži beskonačnom je kriva linija." mozda si mislio na pravu liniju?
MyCoNfa:
CPU: AMD Phenom II X4 965 3,4GHz BOX
Maticna:Asus M4A89GTD PRO
RAM: Corsair 4x2GB 1600MHz, 9-9-9-24
Grafa: Diamond ATI 5870 1GB
HDD:3xWD 320GB AAKS, stripe raid
DVD/RW:LG,SATA
SilverStone SST-ST50F 500W
CoolerMaster CM690
LG 24" 2453TQ-PF
Tastatura A4Tech X7 G800
Stakor: A4Tech X7-755FS
 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju30.03.2007. u 20:17 - pre 177 meseci
Fantasticno pitanje galet!

Ukratko -- sta ti je prava linija ako ti je prostor kriv? :)

Definicija koja prvo pada na pamet je:
Prava linija je najkrace rastojanje izmedju dve tacke.
tj.
Linija koja spaja dve tacke je prava ako je medju svim linijama koje spajaju te dve tacke najkraca.

Nazalost, istpostavlja se da ova definicija ima neke neprijatne osobine. Zamisli npr. dve tacke na sferi i najkracu liniju izmedju njih. Ako drugu tacku pomeras sve dalje i dalje od prve, u nekom trenutku dve tacke naci ce se dijametralno suprotno jedna drugoj. U tom trenutku postojace beskonacno puno "najkracih" linija izmedju dve tacke. Drugim recima po gorenavedenoj definiciji prava linija izmedju dve dijametralno suprotne tacke nije definisana.

Zato ovu definiciju modifikujemo kao:
Linija koja spaja dve tacke A i B je prava ako je u odnosu na sve male deformacije u odnosu na nju samu, ekstremna -- ili najkraca ili najduza ili iste duzine.

Ova definicija je zgodna jer omogucava da prave linije sracunamo na samo na osnovu izraza za duzinu proizvoljne infinitezimalne linije u prostoru (metrike prostora).

Meni je zanimljivo da Euklidovi postulati u stvari definisu nezakrivljen prostor (Riemann tensor === 0; postoji koordinatni sistem (x,y,z) koordinatni sistem takav da su prave linije u njemu l = (x0,y0,z0) + t(dx,dy,dz) i duzine pravih linija sqrt(Dx^2 + Dy^2 + Dz^2) ), iako uopste ne pricaju o geometriji preko koordinata.



 
Odgovor na temu

[email protected]

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-1.sezampro.yu.



+3 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju30.03.2007. u 20:24 - pre 177 meseci

Ili vi niste shvatili pitanje ili ga ja nisam jasno postavio. Probaću drukčije:

Da li je konveksna strana krive duža od konkavne?
Ako nije duža zašto je onda ta linija kriva (iskrivljena)?
Ako je ta strana duža - kolika je i kakva je ta razlika u dužini između tih strana?

Ako je odgovor da kriva nema dve strane nego samo jednu - od čega potiče iskrivljenost krivih?

Ako neko nije matematičar, onda je bolje da ne odgovara, jer mi ne znamo pa zato pitamo matematičare koji možda znaju.
 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju30.03.2007. u 20:36 - pre 177 meseci
Sto se poluprecnika krivine tice, ovaj pojam iziskuje uzimanje izvoda vektora tangentnog na krivu duz te krive. Bolje receno, iziskuje poredjenje tangentnog vektora krive sa samim sobom duz same krive.

U zakrivljenom prostoru ovo pitanje poredjenja vektora u razlicitim tackama prostora *veoma* je netrivijalno i zove se parallel-transport vektora. Ispostavlja se da odabir parallel-transport mehanizma u stvari potpuno odredjuje geometriju zadatog prostora.

Takodje vazi da ako od svih mogucih poredjenja vektora odaberemo takvo poredjenje da za bilo koja dva originalna vektora u i v u bilo kojoj tacki A na krivi i za dva odgovarajuca prenesena vektora u' i v' u tacki B na toj istoj krivi vazi (u,v) = (u',v') gde je (u,v) skalarni proizvod vektora, onda ova definicija prave linije preko krivine krive i moja definicija preko ekstremizacije duzine krive postaju ekvivalentne.

Zanimljivo je medjutim da uslov (u,v) = (u',v'), cesto nazvan metric-compatibility of parallel-transport, nije dovoljan da se jednoznacno odredi parallel transport proizvoljnog vektora po proizvoljnoj krivi! Dodatni parametar se zove torzija (torsion tensor) i odredjuje parallel-transport vektora po krivi koja je normalna na taj vektor (za razliku od parallel-transporta tangentnog vektora duz samog sebe u slucaju ispitivanja da li je neka kriva prava).

Cinjenica da radi merenja precnika krivine krive na klasican nacin moramo da uvedemo parallel-transport koji eto u nasem slucaju *ispada* da je dobro definisan (bez obzira na torziju) meni puno ide na nerve. Prosto neelegantno! Zato mnooogo vise volim definiciju koju sam naveo u prethodnoj poruci.

P.S.
Za OTR je naravno potreban parallel-transport vektora. Metric-compatiblity ima fizickog smisla. Naime, ako si u liftu koji slobodno pada, uglovi i rastojanja izmedju predmeta koji sa tobom slobodno padaju nece se menjati. Torzija se medjutim dosta proizvoljno deklarise da je 0. I dalje nisam naisao na neko dobro fizicko objasnjenje zasto. Znam doduse da je John Baez ovoj temi posvetio nekoliko clanaka (koje mozda nisam dovoljno pazljivo procitao).
 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju30.03.2007. u 20:50 - pre 177 meseci
Jos jedan komentar, pogotovo za petarm:

Ako je kriva u 3D, lako je pricati o torziji i bi-torziji. Izvodjenje Kartanovih jednacina krive medjutim implicitno koristi parallel-transport vektora u (ravnom) 3D prostoru u kome se kriva nalazi.

Nazalost, kao i u mnogim drugim primenama vektorskog diferencijalnog racuna, nacin na koji se 3D parallel-transport koristi u izvodjenju Kartanovih jednacina je dosta mutan. Ovo je glavni razlog zasto *mrzim* 3D vektorski racun. Cim uzmes nekartezijske koordinate ili se pak prebacis u kriv prostor, the whole fucking thing breaks. A onda se na jedvite jade trudis da nadjes razloge zasto.

Zato olaksajmo zivot i sebi i drugima:
No action at a distance.
No parallel-transport without a curve.
No cross-products.
No implicit identification of vectors and 1-forms (i.e. )

Ako ne mozes da odradis neki proracun pod ovim uslovima, mozes unapred da znas da proracun nece proci u krivolinijskim koordinatama ili pak u krivom prostoru. Primer1: magnetno polje strujne konture (Biot-Savart zakon). Ako proracun prodje pod ovim uslovima, videces odmah razlike izmedju pravog i krivog prostora. Takodje, moci ces lako da koristis sfericnu ili cilindricnu ili... simetriju problema.

 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju31.03.2007. u 02:38 - pre 177 meseci
Pogledao sam malo pazljivije raniju diskusiju pa mi je nesto zapalo za oko.

Galetova ideja o poredjenju duzina levih odnosno desnih delova krive odgovara u stvari mojoj definiciji.

Jer, zamisli da kriva ima neku malu "debljinu". Ovu "debelu" krivu mozemo da posmatramo kao jednu pravu (infinitezimalno tanku) krivu koja odgovara centroidu debele krive + tanke krive koje opisuju obim debele krive. Ako je nasa debele kriva dovoljno tanka, ove krive po obodu bice infinitezimalno udaljene od centralne referentne krive.

Sada:
Ako je kriva koja odgovara centroidu po mojoj definiciji prava, onda njene male (infinitezimalne) promene nece uticati na njenu duzinu. To znaci da ce duzina svih tankih krivih po obodu debele krive biti jednaka medjusobno i jednaka duzini krive u centru.

Vazi i obrnuto -- ako sve krive po obodu imaju istu duzinu kao i kriva u centru, onda se duzina krive u centru nece promeniti ako istu infinitezimalno deformisemo. Stoga je kriva u centru po mojoj definiciji prava.

Zato: sve strane "infinitezimalno zadebljane" krive su jednake duzine <=> kriva je prava. Ovo vazi u *bilo kojem* prostoru.
 
Odgovor na temu

[email protected]

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl.sezampro.yu.



+3 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju31.03.2007. u 08:33 - pre 177 meseci


Zamisli, Marko, neki kružni venac ili deo kružnog venca proizvoljne širine.
Možeš li reći kolika je dužina tog kružnog venca ili nekog njegovog dela?
 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju31.03.2007. u 18:17 - pre 177 meseci
Mogu -- uzmem tanak konac po kome sam ravnomerno (poredeci sa samim sobom) naneo referentne oznake. Onda polosim konac duz pravca ciju duzinu hocu da merim. Posto je konac tanak, njegovo savijanje ne utice na to koliko dobro funkcionise za merenje duzine.

Ako na ovaj nacin izmerim unutrasnji obim venca i spoljasnji obim venca, zakljucicu da su razliciti. Stoga zakljucujem da je oblik venca zakrivljen.

Jos jednom, ovde je jako bitno da moj lenjir tj. konac bude tanak u odnosu na krivinu onoga sto merim. Ovo "tanak" se moze rigorozno matematicki definisati.

[Ovu poruku je menjao mcetina2 dana 31.03.2007. u 19:52 GMT+1]
 
Odgovor na temu

[email protected]

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-2.sezampro.yu.



+3 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju31.03.2007. u 20:19 - pre 177 meseci
Citat:
mcetina2: Ako na ovaj nacin izmerim unutrasnji obim venca i spoljasnji obim venca, zakljucicu da su razliciti. Stoga zakljucujem da je oblik venca zakrivljen.


Bez obzira na širinu venca uvek će unutrašnji obim venca biti manji od spoljašnjeg, pa je venac zakrivljen i onda sledi:
venac je zakrivljen zato što mu je unutrašnji obim manji od spoljašnjeg.
To važi uvek - čak i ako je venac predstavljen jednom linijom - zato što je ta linija (infinitezimalni venac) zakrivljena.
Venac nije izgubio svojstvo zakrivljenosti zbog toga što mu je širina 0 cm.
Venac je i pri toj širini zadržao svojstvo zakrivljenosti zato što mu je konkavna strana drukčija od konveksne.
Kad bi te strane bile jednake onda to ne bi bio venac ( odnosno kriva) nego prava.

Odavde sledi važan (moj) zaključak da se kriva linija ne može dobiti "krivljenjem" prave linije i obrnuto.
To su različite pojave i svako poređenje je neprincipijelno.
Prava linija se ne može iskriviti niti kriva ispraviti.

 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju31.03.2007. u 21:19 - pre 177 meseci
A i, joojj galet --
intuicija o mnogim stvarima ti je dobra ali, kao sto si sam rekao, nisi matematicki potkovan. To dovodi do mnogih konfuzija.

U matematici linija -- bilo prava, bilo kriva -- nema debljinu. Tacka. Zato ne mozes matematicki *tek tako* da pricas direktno o razlicitoj duzini unutrasnje i spoljasnje strane linije. Tacka.

Medjutim, tvoju intuiciju mozemo da spasemo putem sledeceg granicnog procesa:

Zamisli da imas beskonacno tanku (matematicku) liniju:

-----------------------

Onda iz svake tacke te linije mozes normalno da povuces jednu drugu linijcu.
|*|*|
|*|*|
----------
|*|*|
|*|*|

Onda po toj linijci sa obe strane originalne linije mozes da udaris recke jednako i jako malo (razdaljina ) udaljene od centra prvobitne linije:

x*x*x
|*|*|
----------
|*|*|
x*x*x

Ove dve serije recki -- isto tako beskonacno tanke -- prave dve dodatne linije "parallelne" i na rastojanju od prvobitne -- beskonacno tanke -- linije. Zajedno sa prvobitnom linijom, ove dve linije grade "traku" konacne debljine. Ova "traka" pak veoma lici na ono o cemu, koliko se meni cini, ti razmisljas.

Ako dve strane ove trake tj. dve reckaste linije imaju razlicitu duzinu, prvobitna linija je kriva. Ako imaju istu duzinu, prvobitna linija je prava.

Ukratko --
Matematicki je netacno da pricas o dve strane matematicke linije i o njihovim razlicitim duzinama (jer linija nema "dve strane")!
Medjutim, tvoja intuicija moze da se izvuce putem granicnog procesa kada pustis .

Dalje, po ovom kriterijumu pravu liniju moguce je kontinualno deformisati tako da postane kriva. Naravno, i pri najmanjoj konacnoj deformaciji ona ce postati kriva. Zato tebi izgleda da su "prava" i "kriva" linija dva sasvim drugacija pojma (ili nesto jeste 0 ili nije 0).

Medjutim, umesto da govorimo o kategoricnim pojmovima "pravo" i krivo, moguce je uvesti meru zakrivljenosti linije kao granicna vrednost
(duzina spoljasnje krive - duzina unutrasnje krive)//(duzina centralne krive)
kada duzina centralne krive -> 0 i .

Ovo svodi na Cartanovu zakrivljenost krive gde je R tzv. "poluprecnik krivine". U slucaju kruga u ravnom prostoru, R odgovara poluprecniku tog kruga. Zbilja:



P.S.
Pazljiva analiza granicnih vrednost i od izuzetne je vaznosti za logicku konsistentnost izlaganja.

Nazalost, granicni procesi poput ovog koji sam naveo mogu da budu veoma suptilni -- matematicarima je trebalo >150 godina (od Njutna do Weierstrass-a, Cantor-a i drugih) da ovakve procese koji se cesto koriste u fizici logicki potkuju. Zato pazljivo!




 
Odgovor na temu

zoran_dojkic

Član broj: 105358
Poruke: 1684
PPP-02-56.beobug.com.



+35 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju01.04.2007. u 12:14 - pre 177 meseci
Citat:
mcetina2: U matematici linija -- bilo prava, bilo kriva -- nema debljinu. Tacka. Zato ne mozes matematicki *tek tako* da pricas direktno o razlicitoj duzini unutrasnje i spoljasnje strane linije. Tacka.

Da si pročitao šta sam ja rekao na početku, ne bi ni pisao sve prethodno.
Citat:
Tačka, u matematici, nema veličinu, linija i površina nemaju debljinu.
Prazna rasprava, kao mnogo puta na ovom forumu (molim one koji nemaju smisla za direktan odgovor da se uzdrže od pisanja).
 
Odgovor na temu

[email protected]

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl.sezampro.yu.



+3 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju01.04.2007. u 13:18 - pre 177 meseci

Evo pokušao sam da "ispravim krivu Drinu" pa ne ide

Vidi prilog!
Prikačeni fajlovi
 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju02.04.2007. u 00:35 - pre 177 meseci
galet -- u stvari, ide.

Sve linije koje si opisao jesu krive. Konkretno, svim svojim tackama osim tacaka preloma imaju krivinu jednaku krivini pocetnog kruga. Medjutim, prelaz na granicnu vrednost je suptilan i nisi ga korektno odradio. Konkretno, granicna vrednost tvog niza linija *jeste* prava linija.

Intuitivan razlog za to je da ako svi elementi odredjenog konvergentnog niza pripadaju odredjenom skupu, njihova granicna vrednost ne mora da pripada istom tom skupu. Tako su svi elementi reda 1/n gde su n prirodni brojevi pozitivni (krivi). Medjutim, granicna vrednost reda (0) niti pripada redu niti je pozitivna (kriva).

Ovo je moguce dokazati ako uvedemo x-y koordinatni sistem i parametrisemo u tom koordinatnom sistemu tvoju izlomljenu liniju u zavisnosti od rastojanja L po liniji.

Ako je poluprecnik prvobitnog kruga 1 i ako ga izdelimo na n delova:

gde je

oznacava ceo rezultat a ostatak pri deljenju.

Maksimalna vrednost |y| u ovom slucaju iznosi . Kada , ocigledno da za sve L ravnomerno.

Ostaje da razmotrimo x. Medjutim, ako , . Stoga


Medjutim, ako , pa

medjutim, ovaj izraz ce uvek da se nalazi u . Kako n tezi beskonacnosti, ovaj interval tezi tacki L.
Stoga


A (x,y) = (L,0) za L od nula do 2pi je pak prava linija.

Dakle -- ukratko --
Sve linije koje si ti nacrtao *jesu* krive. Medjutim, njihova granicna vrednost je prava!




[Ovu poruku je menjao mcetina2 dana 02.04.2007. u 01:51 GMT+1]
 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju02.04.2007. u 00:44 - pre 177 meseci
zoran_dojkic, zamolio bih te da pazljivo procitas i pokuses da razumes konstrukciju za razlikovanje prave i krive 1D linije koju sam naveo u poruci koju sam citiras (ono:
|*|*|
|*|*|
----------
|*|*|
|*|*|
)
Upravo u toj poruci, umesto da diskusiju svodim na metafizicku/filozofsku raspravu o tome da li idealna linija ima debljinu (za koju bi se vecina ljudi slozila da je banalna) pokazujem kako je galetovu intuiciju o debelim linijama moguce formalizovati. Na taj nacin ovaj nacin razmisljanja postaje korisan u okviru matematike u kojoj su sve linije beskonacno tanke. Stavise, ova intuicija je itekako korisna i vodi do pojmova tipa Riemann-ove krivine.







 
Odgovor na temu

[email protected]

Član broj: 81985
Poruke: 1076
*.adsl-1.sezampro.yu.



+3 Profil

icon Re: Nematematicari pitaju02.04.2007. u 15:42 - pre 177 meseci
Sad je na mene red da kažem da „ne ide“
Marko:
Citat:
Medjutim, prelaz na granicnu vrednost je suptilan i nisi ga korektno odradio. Konkretno, granicna vrednost tvog niza linija *jeste* prava linija.

Prelaz na graničnu vrednost nisam „odradio“ nikako – ni korektno ni nekorektno. Pre svega takav
prelaz nije dozvoljen. „Suptilnost“ takvog prelaza je sasvim nekorektna. Evo zašto:
Svaki deo kružnice – i veći i manji imaju istu zakrivljenost – ona se ne menja nego je konstantna
i nezavisna od veličine tih delova tj. ta zakrivljenost ne teži nuli. Otkud odjedanput skokovit „suptilan“
prelaz na nultu zakrivljenost kad takve težnje nema?
Skokovit prelaz znači napuštanje određene pojave i njenih svojstava i prelaz na drugu, drukčiju
pojavu koja ima drukčija svojstva – odjednom bez postepenog prelaza iniciranog nekom težnjom.
Ali šta time dokazujemo izuzev različitosti među tim pojavama?

 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju02.04.2007. u 20:29 - pre 177 meseci
galet, ne razumem sasvim kuda ciljas osim metafizike/filozofije.

Mozda ce ovo da pojasni stvari.

Od vremena Newton-a pa do kraja 19. veka matematicari su se mucili da upravo ovaj pojam "teznje" nekog niza nekoj granicnoj vrednosti dobro logicki potkuju. Newton i Laplace su o ovakvim "teznjama" puno pricali i stavise koristili ih za izvodjenje (tacnih) fizickih rezultata. Medjutim, niko nije imao matematicki cvrstu podlogu za ove pojmove.

Krajnji veliki rezultat ovog rada Weierstrass-a i ostalih u 19. veku je uvodjenje pojmova metrickog prostora, topologije i definicija granicne vrednosti. procedura omogucava da se u matematici poveze jedna vrsta objekta (granicni niz) sa drugom (granicna vrednost) koja *zaista* moze da ima veoma drugacije osobine od prve (granicnog niza).

Nacin na koji se ovaj pojam uvodi u mnogo cemu prati nasu intuiciju o pojmu limita. Konkretno, uvede se izvesan pojam rastojanja izmedju pojedinacnih elemenata niza. Onda se primeti da kada n i m postanu veliki, rastojanje postane veoma malo. Intuitivno, kada n->beskonacnost, svi elementi niza se nekako trpaju na gomilu.
Zatim se uvodi granicna vrednost kao tacka nagomilavanja svih elemenata niza. Drugim recima, ona tacka u cijoj bilo kojoj okolini se nalazi beskonacno puno elemenata niza.

Matematicki precizno, granicna vrednost a niza je takva da za svaki pozitivan realan broj postoji prirodan broj k tako da (Weirstrass). U mnogim slucajevima moguce je logicki dokazati da je ova tacka jedinstvena.

Ovo nagomilavanje je po meni intuitivno neophodno oko bilo koje granicne tacke. Zato, opet mo meni, bilo koji intuitivan pojam granicne tacke niza mora da se poklopi sa ovim matematickim.

Bitno:
Posto smo ovako matematicki definisali jedinstvenu granicnu vrednost konvergentnog niza ( kada ), moguce je sa svakim konvergentnim nizom (pojmom prve vrste) dovesti u vezu granicnu vrednost (pojam druge vrste).

Onda reci da ne mozes da poredis niz i granicnu vrednost jer su to babe i zabe malo je bez veze. Jer -- sama granicna procedura (izlozena gore) daje nacin da se ova dva pojma dovedu u vezu, analizaraju i porede.

P.S.
Nezavisno sta mislis o pravim/krivim linijama i nezavisno od tvog stava prema ovoj diskusiji, preporucio bih ti da sednes i pokusas da shvatis definiciju granicne vrednosti u matematici. Ova definicija je na logicki stabilne temelje postavila sav danasnji diferencijalni racun (integrale, izvode, etc.) i matematicku analizu. Takodje se radi o jednom od najvecih matematickih podviga 19. veka.

Topao pozdrav,
Marko
 
Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.



Profil

icon Re: Nematematicari pitaju02.04.2007. u 21:01 - pre 177 meseci
galet -- izvini --

ja sam se opet zaneo u mojoj prici a nisam razmislio o tvom problemu i ukazao na sustinski problem. Kriv sam malo ko' djokic :)

Sa stanovista epsilon-delta definicije, tvoj problem sastoji se u tome sto uobicajeno rastojanje izmedju krivih koje se koristi za nalazenje granicne vrednosti tvog niza krivih -- naime --

"|kriva1 - kriva2| = maksimalno rastojanje izmedju tacaka A i B na krivama 1 i 2 takvim da je rastojanje po krivi 1 od pocetka krive 1 do tacke A jednako rastojanju po krivi 2 od pocetka krive 2 do tacke B"

*nije povezano* sa krivinom kriva 1 i 2.

Zato je granicni proces koji sam naveo u pretprosloj poruci, inace sasvim matematicki korektan, u stanju da sve krivine ispegla.

*******************************************************************
Ovde medjutim nailazimo na jedan problem. Ako zelimo matematicki precizno da pricamo o granicnoj vrednosti, moramo nekako da uvedemo pojam "rastojanja" izmedju dve krive. Ne izmedju pojedinacnih tacaka vec izmedju dve citave krive kao dva objekta.

Definicija koju sam naveo (max. rastojanje izmedju odgovarajucih tacaka dve krive) je po meni dosta intuitivno jasna....ono takodje dovodi do jedinstvene granicne krive kao sto sam vec spomenuo.

Ako ti se moja granicna vrednost ne svidja, ja bih onda trazio drugu definiciju rastojanja izmedju dve krive. Konkretno, neki pojam rastojanja izmedju dve krive koji bi se osvrtao na zakrivljenost odgovarajucih krivih.

Tu sam ti medjutim malo skeptican.... u stvari, malo vise... pokusaj da se u rastojanje dve krive uvede neka vrsta izvoda kao sto je zakrivljenost moze da dovede do mnogih patologija....

*************************************************
Kratak summary:
epsilon-delta granicni proces koji sam opisao u prethodnoj poruci dovesce do glatkog prelaska sa niza na granicnu vrednost sa stanovista mere rastojanja izmedju tacaka u prostoru |a_n - a_m| koju koristis za nalazenje granicne vrednosti. Druge karakteristike datih elemenata niza, iako glatke od jednog do drugog elementa, mogu se skokovito promeniti pri (inace dobro matematicki definisanom preko |a_n-a_m| rastojanja) prelasku na granicnu vrednost.
 
Odgovor na temu

[es] :: Matematika :: Nematematicari pitaju

Strane: 1 2

[ Pregleda: 8390 | Odgovora: 37 ] > FB > Twit

Postavi temu Odgovori

Navigacija
Lista poslednjih: 16, 32, 64, 128 poruka.