[es] - Jedan zadatak iz mehanike fluida!

petarm
Petar Mali
Zrenjanin

Član broj: 20220
Poruke: 1879
*.ns.ac.yu.

+33 Profil

^{26.03.2007. u 11:31 - pre 208 meseci}

1.) Tecnost gustine 900kg/m³ i viskoznosti 0,05Pas protice srednjom brzinom 1m/s kroz cev precnika 2,5cm. Na duzini cevi od 100m promena pritiska je 260kPa. Kojom bi srednjom brzinom proticala voda (viskoznost vode je 10^-3Pas) u dva puta uzoj cevi da bi protok bio dinamicki slican i koliki bi tada bio pad pritiska na istoj duzini cevi?

Voleo bih da neko izdiskutuje zadatak. Unapred hvala.

http://www.svijetfizike.com/

Odgovor na temu

mcetina2
Marko Cetina
Grad student (fizika)
Cambridge, MA (SAD)

Član broj: 125398
Poruke: 220
*.MIT.EDU.

Profil

Re: Jedan zadatak iz mehanike fluida!

^{27.03.2007. u 05:52 - pre 208 meseci}

Glavna ideja je da jedinice mase, vremena i prostora (rastojanja) nisu ni na koji fundamentalan nacin povezane sa dinamikom nerelativistickog fluida. To implicira sledece:

Pretpostavi da imamo resenje R nekog problema dinamike fluida pri cemu za jedinice mase, duzine i vremena koristimo M, L i T.
Pretpostavi sada da promenimo jedinice problema u M', L', T'. U novim jedinicama resenje ce biti R'. Medjutim, nema niceg fundamentalnog u jedinicama R. Stoga -- !!pazi dobro!! -- ako promenimo *problem* tako da u starim jedinicama izgleda kao originalni problem u novim jedinicama, onda ce njegovo resenje u *starim* jedinicama biti kao resenje originalnog problema u novim jedinicama.

Konkretne jedinice u dinamici fluida su:
Pritisak ~ M L/T^2 / L^2 = M/(L*T^2)
Gustina ~ M/L^3
Viskoznost ~ M L/T^2/L^2*T = M/(L*T)
Brzina ~ L/T

Ako promenimo jedinice M->M':
Pritisak -> Pritisak * M/M'
Gustina -> Gustina * M/M'
Viskoznost -> Viskoznost * M/M'
Brzina -> Brzina
Dakle, profil brzine u resenju problema ne menja se ako pritisak, gustinu i viskoznost problema zajedno promenimo k puta.

Ako promenimo L->L':
Pritisak -> Pritisak * L'/L
Gustina -> Gustina * (L'/L)^3
Viskoznost -> Viskoznost * L'/L
Brzina -> Brzina * L/L'
Duzina -> Duzina * L/L'
Dakle, ako povecamo rastojanja u problemu k puta, smanjimo pritisak k puta, gustinu k^3 puta i viskoznost k puta, brzina protoka fluida povecace se k puta.

Ako promenimo T->T':
Pritisak -> Pritisak * (T'/T)^2
Gustina -> Gustina
Viskoznost -> Viskoznost * (T'/T)
Brzina -> Brzina * (T'/T)

Dakle, ako povecamo pritisak k^2 puta a viskoznost k puta, brzina protoka fluida smanjice se k puta.

************************************************************************
Promenom jedinice rastojanja, zakljucujemo
Voda u 1.25cm cevi pri 1000kg/m^3, 1e-3 Pas ~
Tecnost gustine 1000/8 kg/m^3, viskoznosti 1e-3/2 Pas u 2.5cm cevi

Mi pak znamo resenje za 900 kg/m^3 i 5e-2 Pas u 2.5cm cevi.

Ostaje da reskaliramo vreme i masu:
900 * M/M' = 1000/8
5e-2 * M/M' * T'/T = 5e-4

Odakle M/M' = 1000/(900*8) i T'/T = 5e-4/5e-2 * 900 * 8 / 1000 = 0.072. Drugim recima, protok vode kroz cev opisan je poznatim resenjem ali merenim u jedinicama duzine od 2m, vremena od 72ms, mase od 7.2kg i pritiska od 695Pa.

1 m/s u novim jedinicama je 1/(2/.072) ~ 36cm/s
Dok 260kPa / 100m ~ 260k/695 / (100/2) = 7.5 Pa/m

Promena pritiska vode je onda 100m x 7.5Pa/m = 750Pa dok je brzina protoka gorenavedenih 36cm/s.

Nadam se da se nisam negde zbunio u skaliranju gomile jedinica.

P.S.
Ako pogledas dinamiku fluida, naici ces na bezdimenzione jedinice poput Reynoldsovog broja i slicnih. Postojanje ovakvih bezdimenzionih velicina koje potpuno karakterisu nelinearne aspekte protoka sledi i *ekvivalentno je* gorenavedenoj diskusiji o skaliranju.

Odgovor na temu