Registracija

ne mogu da resim problem sqrt(a+b-c)+sqrt(a-b+c)+sqrt(b+c-a)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)

Odgovori Nova tema

1 odgovor
2.842 pregleda

ne mogu da resim problem sqrt(a+b-c)+sqrt(a-b+c)+sqrt(b+c-a)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c) 15.10.2006. u 18:37 · pre 244 meseca #1

Da li bi mi neko pomogao da dokazem ovu nejednakost?

sqrt(a+b-c)+sqrt(a-b+c)+sqrt(b+c-a)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)

Re: ne mogu da resim problem sqrt(a+b-c)+sqrt(a-b+c)+sqrt(b+c-a)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c) 15.10.2006. u 19:10 · pre 244 meseca #2

Prvo da bi nejednakost uopste imala smisla treba da su $a,b,c$ nenegativno realni brojevi i da je $a+b\geq c, a+c\geq b, b+c\geq a$ . Neka je $x=\frac{b+c-a}2,y=\frac{a+c-b}{2},z=\frac{a+b-c}{2}$ / Onda je $x,y,z\geq 0$ , a nejednakost se svodi na

$\sum{\sqrt{2x}}\leq \sum{\sqrt{x+y}}$ .

Slucajevi kada su neki od $x,y,z$ jednaki 0 su trivijalni. :)

Ako su svi $x,y,z$ razliciti od 0, onda imamo da je $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}2 \leq \sqrt{\frac{x+y}2}$ po nejednakosti izmedju aritmeticke i kvadratne sredine. Sumiranjem odgovarajucih nejednakosti za ostale parove promenjlivih dobijamo trazenu nejednakost. Znak jednakosti u ovom slucaju vazi kada je $x=y=z$ , odnosno $a=b=c$ .

Prijavite se da biste odgovorili u ovoj temi.Prijava Registracija

Forum kao aplikacija na telefonu

Srodne teme