polarne kordinate

polarne kordinate 30.06.2006. u 08:59 · pre 247 meseci #1

Interesuje me sledece ako su date dve tachke na sferi svojim polarnim kordinatama a = (fi1,teta1) i b=(fi2,teta2)
koja je parametarske jednacina najkraceg luka izmedju te dve tachke?

pozdrav

Potpis

Re: polarne kordinate 01.07.2006. u 02:10 · pre 247 meseci #2

Neka su date različite tačke $A(\rho,\theta_1,\varphi_1)$ i $B(\rho,\theta_2,\varphi_2)$ .
Pri čemu, $\rho$ je radijus, $\theta_1,\theta_2\in [-{\pi\over 2},{\pi\over 2}]$ predstavljaju elevaciju a $\varphi_1,\varphi_2\in (-\pi,\pi]$ azimut.

Neka je tačka $O$ centar sfere.

Sve tačke $X$ na duži $AB$ možemo opisati sa:

$\overrightarrow{OX}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ , $0\le t\le 1$ .

Sada ostaje da vidimo kakvim koeficijentom (u f-ji od $t$ ) moramo da pomnožimo vektor $\overrightarrow{OX}$ da bi dobili tačku na luku $AB$ (to je moguće, ako $\overrightarrow{OA}\neq-\overrightarrow{OB}$ )

Za početak, znamo da je $\angle(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})=\arccos\left (\cos\theta_1\cos\theta_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)+\sin\theta_1\sin\theta_2\right )=:\varphi$

_{Ovo je dobijeno prebacivanjem sfernih u Dekartove koordinate a zatim i računanjem skalarnog proizvoda.}

Lako je videti da je $|\overrightarrow{AB}|=2\rho\sin{\varphi\over 2}=:AB$

Sada, ako je $0\le t\le 1$ fiksirano, koristeći kosinusnu teoremu, nalazimo $|\overrightarrow{OX}|=\sqrt{\rho^2-AB^2t(1-t)}$ .

1. $\varphi\neq \pi$

Tačka $W$ pripada luku $AB$ ako i samo ako

postoji $0\le t\le 1$ , takvo da $\overrightarrow{OW}={\rho\over\sqrt{\rho^2-AB^2t(1-t)}}\left ( (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\right )$

Ostaje da se, eventualno, izvrši razdvajanje po koordinatama a zatim i prevođenje u sferne koordinate...

2. $\varphi= \pi$

Postoji kontinuum mnogo najkraćih lukova između $A$ i $B$ ...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Re: polarne kordinate 12.07.2006. u 09:14 · pre 246 meseci #3

Hvala...

Potpis

Srodne teme