Logika, filozofija

Moram priznati da te ne razumem najbolje.

Par veznika se ne razlikuje od para veznika u nadračunu, ali se razlikuje u podračunu upravo zato što jeste teorema, a nije teorema. To možeš uporediti sa teorijom pramenova euklidske i apsolutne geometrije. Za paraboličke i hiperboličke pramenove važe iste teoreme u euklidskoj geometriji, ali ne važe iste teoreme u apsoltnoj geometriji. Šta je tu sporno ili neobično?

Pretpostavljam da semantiku logike vezuješ za njen smisao. U logici se modeli zovu semantikom, a aksiomatski sistemi sintaksom. Parovi veznika i jesu isti (i sintaksno i semantički) u nadračunu, odnosno različiti u podračunu. Razne formule koje su ekvivalentne u ZFC, ne moraju biti ekvialentne u ZF, pa se pri izbacivanju aksiome izbora mnogi pojmovi cepaju na više podpojmova. Sve je to krajnje uobičajeno u matematici. Uopšte ne razumem poentu tvoje priče.

Sa druge strane, korist od ovog sistema postoji. Omogućava nam da rešavamo i zadatke tipa "Primerom pokazati da postoji..." bez gubljenja bilo čega od klasične logike.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ja se potpuno slažem sa time što si napisao. Zato sam u prethodnom postu napisao

Ali, prirodno je zapitati se: pa što sam onda to i pominjao? Pa zato što naša situacija nije sasvim ista kao u primerima koje si dao.

Neka je sistem onih aksioma i pravila izvođenja koje sam naveo (neka su u njemu date i one standardne definicije), a neka je sistem dobijen iz izbacivanjem 13. aksiome, i još neka je sistem dobijen restrikcijom sistema onako kako si opisao u onom materijalu. Ako su računi koji odgovaraju pomenutim sistemima, onda je lako videti da je svaka teorema intuicionističke logike, teorema i klasične logike, kao i obrnuto, svaka teorema klasične logike je teorema intuicionističke logike (zbog izomorfnosti i ).

I šta je to sad?

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Sistemi K i K' nikako nisu izomorfni, jer sistem K ima širi jezik od sistema K', pa se ne mogu ni porediti. To što su u sistemu K veznici "|" i "v" isti samo znači da taj sistem ima neku vrstu netrivijalnog "automorfizma". Sistem K nema simbol "|" uopšte. Naravno, svejedno je koje ćeš oznake koristiti, ali nije svejedno koliko veznika imaš i koje su arnosti. U tom slučaju je K' prava restrikcija logike I, koja je pravi podračun računa K. Obrati pažnju na razliku između pojmova "restrikcija" i "podračun".

Skup formula sistema K' je pravi podskup skupa formula sistema I koji je jednak skupu formula sistema K. Prihvataš li da postoje teoreme sistema K, pa čak i sistema I, koje nisu formule sistema K'. Jedna od takvih je

Skup teorema sistema K' je pravi podskup skupa teorema sistema I, koji je pravi podskup skupa teorema sistema K.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Slažem se. Ali zar onda imaš pravo da račun zoveš klasičnom logikom?



Ali ako ostavimo definicije onih veznika i onog kvantifikatora tek za račun zar nećemo onda imati izomorfnost ona dva računa?

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

OK, pogrešio sam u prethodnoj poruci. Da se popravim.

Sistem K' jeste tačno klasična logika na jeziku . Ne vidim u tome nikakav problem. Zbog čega ne bi bila?
Sistem K takođe jeste tačno klasična na istom jeziku. K i K' su izomorfni. Imaju izomorfne jezike.
Sistem I jeste intuicionistička logika na izomorfnom jeziku.
Možemo reći da su jezici isti. Recimo da je taj jezik To upravo znači i da je skup formula isti.

Vratimo se sada na tvoje pitanje

Kada potapaš sistem K' u sistem I, ti nećeš svaki polazni logički simbol domena slikati u sebe, već u veznik koji je definljiv u logici koja je kodomen. Time se neće svaka formula domena preslikati u sebe. Recimo, formula slikaće se u formulu To jeste potapanje, jer se svaak teorema doemna slika u teoremu kodomena. Kada potapaš sistem I u sistem K, ti svaki polazni simbol slikaš u sebe samog, pa se samim tim i svaka formula domena slika u samu sebe. I to je potapanje, jer se svaka teorema domena slika u teoremu kodomena. Sistemi K i K' će biti u potpunosti isti, ali će sistem I imati uži skup teorema (Nemoj ovde da brzaš, pročitaj tekst do kraja, Vreba jedna "optička varka".). Dakle, neće klasična i intuicionistička logika biti iste.

Seti se samo da se svaki od intervala [0,1), (0,1] može utopiti u onaj drugi, ali da oni nikako nisu izomorfni. Ne kažem da si tvrdio suprotno, niti da to ne znaš, već samo napominjem da to treba stalno imati u vidu.

Međutim, isti simbol će u različitim sistemima označavati različite veznike. Zato je bolje da kažemo da sistem I ima jezik da ne bi bilo opasnosti od "optičke varke" da je u sistemu I formula formulacija zakona isključenja trećeg. sistem K se tada utapa u sistem I, mi ćemo u principu polazne simbole iz domena slikati u izvedene simbole kodomena, pa će se formula slikati u formulu Sa druge strane, pri potapanju sistema I u sistem K ćemo polazne simbole domena slikati u polazne simbole kodomena. Na primer, u

Kada se eliminiše "optička varka", onda više skup teorema sistema I nije inkluzijski uporediv sa skupom teorema sistema K. No, i ovde imamo jednu "optičku varku". Nismo uračunali simbole koji mogu biti definisani preko polaznih.

Pretpostavimo da je K'' sistem dobijen proširivanjem sistema K novim sibolima definisanim preko polaznih. Ukoliko upotrebimo barem jedan intuicionistički simbol u tom proširenju, onda zahtevamo da sistem K'' i sistem I na preseku njihovih skupova formula imaju isti skup teorema. Drugim rečima, ne dopuštamo upotrebu istog simbola u različitim značenjima. Tada možeš formirati sistem I' proširivanjem sistema I svim sibolima sistema K'' koji nisu simboli sistema I, definisanim preko polaznih simbola sistema I, tako da skup teorema sistema I' i K'' na skupu formula sistema K'' bude isti, i da skup teorema sistema K'' bude pravi podskup skupa teorema sistema I'. U obrnutom smeru se to ne može uraditi. To je zato što se svi klasični simboli mogu definisati unutar intuicionističke logike, ali se svi intuicionistički ne mogu definisati u okviru klasične logike.
Kada definišemo u sistemu I nove simbole preko polaznih, dobićemo sistem čiji je skup teorema pravi nadskup skupa teorema

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Neka je zadat na jeziku , i neka je zadat na jeziku , i neka je zadat na jeziku .

Znači, kada iz postojeće klasične logike želim da generišem podračun izomorfan intuicionističkoj logici, meni uopšte nisu potrebni novi simboli - ostavljam isti jezik, ali izbacujem onu aksiomu. Kada iz postojeće intuicionističke logike, pokušavam da napravim račun izomorfan sa klasičnom logikom, onda moram prvo da proširim jezik, pa da ga restrikujem.

Uvođenjem novih definicija u sistem dobijamo bogatiji jezik i njemu odgovarajući sistem koji je raširenje sistema . Dakle, jedino što možemo da tvrdimo je to da intuicionistička logika ima raširenje koje obuhvata klasičnu logiku, a ne da je ona sama raširenje klasične logike.

Pomalo je neprijatno i to što sistem nema pravila izvođenja na sopstvenom jeziku, nego mora da se služi "uslugama" svog raširenja.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Uvođenjem definicija se u sučtini ne obogaćuje sistem. Utapanje jedne logike u drugu je nekakvo preslikavanje skupa formula logike koja je domen u skup formula logike koja je kodomen, ali da se pritom na ranije opisani način prati struktura formula i da se svaka teorema domena slika u teoremu kodomena.

Postoji utapanje f intuicionističke logike (I) u klasičnu logiku (K) takvi da za ma koju formulu F intuicionističke logike važi

F je teorema sistema I => f(F) je teorema sistema K.

Sa druge strane, ne postoji takvo utapanje f za koje bi još važilo i

F je teorema sistema I <=> f(F) je teorema sistema I

za svaku formulu F sistema K.

Međutim, postoji utapanje g sistema K u sistem I takvo da za svaku formulu sistema K važi

F je teorema sistema K <=> g(F) je teorema sistema I.

Drugim rečima, klasična logika je podlogika intuicionističke u jačem smislu od smisla u kome je intuicionistička logika podlogika klasične logike.

Ja sam ranije pisao o tome da se (polazni) simboli doemena moraju slikati u (polazne) simbole kodomena. Ne, kod utapanja se (polazni) simboli domena slikauju u simbole koji se mogu definisati u sistemu koji je kodomen.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Pretpostavljam da si hteo:





Jednim delom se slažem, ali kada se sve teoreme u kojima se javljaju definisani simboli, očiste od tih simbola tj. svedu na polazne simbole - dobijamo nešto što više nije izomorfno klasičnoj logici.

Zato, još uvek ostajem pri tvrdnji:

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Da, jeste, upravo sam to hteo da kažem.

Po čemu nije izomorfno. Navedeno utapanje jeste izomorfizam. Dakle, ovako. Ograničimo se radi jednostavnosti na iskazni slučaj.

Neka su data dva sistema S i S'. Ako svakom n-arnom vezniku * sistema S pridružimo formulu F_*(p₁,...,p_n), sistema S', a onda definišemo presliakvanje f skupa formula sistema S u skup formula sistema S' na sledeći način:

f(p)=p, gde je p proizvoljno iskazno slovo (recimo da su u oba sistema ista),
f(*(A₁,...,A_n))=F_*(f(A₁),...,f(A_n)), gde je * bilo koji iskazni veznik sistema S, a A₁,...,A_n proizvoljne formule sistema S.

Ako pritom za svaku formulu sistema S važi

A je teorema sistema S => f(A) je teorema sistema S',

onda ćemo reći da je f slabi homomorfizam sistema S u sistem S'. Ukoliko pak za svaku formulu sistema S važi

A je teorema sistema S <=> f(A) je teorema sistema S',

onda ćemo za f reći da je jaki homomorfizam sistema S u sistem S'.

(Jako) utapanje definišemo hao 1-1 (jaki) homomorfizam, a izomorfizam kao jaki bijektivni homomorfizam. Po čemu onda dobijana sistem K' nije izomorfan sistemu K? U euklidsku geometriju i bilo koju drugu matematičku teoriju kada aksiomatizuješ, polazne pojmove možeš izabrati na mnogo načina, a da uvek dobiješ istu teoriju.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Dokle god je sistem iskazan na jeziku on zaista jeste izomorfan sa sistemom , ali kada se on svede na polazne simbole, tj. na jezik onda to što dobijamo nije izomorfno sa , mada se i dalje može utopiti u (samo više ne surjektivno).

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

A zašto pomenuto preslikavanje nije surjektivno? Obrati pažnju na to da kodomen nije sistem, I, već sistem K'. Koja formula sistema K' nije u slici tog preslikavanja?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Verovatno smo se negde usput razišli


Dakle, ja sam pričao o sledećem, ako je sistem dat na jeziku on jeste izomorfan sa sistemom tu valjda nema ništa sporno.

Dalje, smatrao sam da su i sistem i sistem dati na jeziku .

Ako se u sistemu oslobodimo simbola dobijamo formule koje pripadaju sistemu a time i sistemu . Tako da je u tom slučaju reč bila o običnom utapanju prečišćenog sistema identičkim preslikavanjem iz prečišćenog u a ne obrnuto.
A onda ni jedna formula iz koja sadrži npr. veznik ne bi bila slika nijedne formule iz prečišćenog .

Drugim rečima, nije suženje sistema , jer njihovi jezici nisu uporedivi u smislu inkluzije.

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Prduhitrio si me. Bio sam umoran i zaboravio sam da napomenem da se sve ovo gleda do ne ekvivalenciju.

Formule A i B su u nekom formalnom sistemu ekvivalentne ako je iz hipoteze A izvodivo B i iz hipoteze B izvodivo A.

Složićeš se da sada imamo jednu bijekciju između klasa ekvivalencije skupova formula sistema K i K'.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Pre nego što se složim, moram da proverim još nešto. Ako već sve gledamo do na ekvivalenciju, onda umesto izbacivanja aksiome trebalo je da izbacimo čitavu klasu ekvivalencije te aksiome (između ostalih u toj klasi se nalazi i formula ). Kako bi onda izgledao sistem , odnosno sistem ? Da li bi u njima formula bila teorema?

Drugim rečima, ako sve gledamo do na ekvivalenciju, onda se i polazni sistem može svesti samo na simbole , pa kako onda iz njega izbaciti zakon isključenja trećeg?

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Moram da priznam, da si veoma konstruktivno kritičan.

Teorije (npr. logike) se ne razlikuju po formalnim sistemima koji ih predstavljaju, već po teoremama koje važe u njima. Formule sistema K' su tačno formule na jeziku Teoreme sistema I koje su na jeziku sistema K' su tačno logičke istine klasične logike. To je definicija podsistema K'. Nasleđuje se deo formula, kao i one teoreme koje su među tim formulama. Formule sistema K su tačno formule na jeziku a teoreme su mu tačno formule na tom jeziku koje su logičke istine klasične logike.

No, mi smo krenuli od utapanja sistema K u sistem I. Držimo se toga.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Ok, onda smo završili (mrzi me da kopam po literaturi, tako da ću ti verovati na reč da se izomorfnost logika sme svesti na izomorfnost klasa ekvivalencije njihovih teorema bez nekih teških posledica ).

Zanimljivo je (mada je pomalo offtopic) to da uvođenje/izbacivanje definisanih pojmova unutar teorije i nije baš toliko naivno koliko se možda čini.
Tako da, što se mene tiče - to baca senku sumnje na izomorfnost sistema i u smislu da ako su zaista izomorfni (preciznije: ako smemo poistovetiti izomorfne sisteme u smislu koji si opisao) - trebalo bi da je moguće - bez proširivanja jezika - iz sistema generisati neku intuicionističku logiku - ali to mi deluje skoro nemoguće u našem slučaju... izgleda da ne možemo tvrditi i



i



Naravno, ovo je samo lični utisak...

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

@uranium

Ja sse ne sećam da sam se na forumu za matematiku tako nalupetao kao sada u diskusiji sa tobom. To je zato što govorim o ojmovima o kojima sam jako davno slušao na logičkom seminaru. No, nije bitno.

U knjizi "Matematička logika - klasična teorija sudova" Vladimira Devidea dato je nekoliko aksiomatskih sistema za klasičnu iskaznu logiku na različitim jezicima. Svi ti sistemi, mada imaju različite alfabete, predstavljaju opis iste, klasične iskazne logike. Treba videti da li je klasična logika podlogika intuicionističke u istom smislu u kome su svo oni sistemi iz Devideove knjige različiti opisi iste logike.

Ne radi se o komplikovanosti, već o ograničenjima samog naučnog metoda. Pogledaj kojim se pitanjima uopšte bavi filozofija. Kako bi naučni metod mogao da odgovori na pitanja morala (etika), na primer?

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

@Nedeljko:

Meni ostaje još samo da ti se zahvalim na ogromnom strpljenju i na obilju novih informacija koje si mi pružio - malo je reći da moj pogled na ovu temu nije ni izbliza onakav kakav je bio pre nedelju dana

To što smo obojica više puta promenili mišljenje o istoj stvari - pripisujem osveti dijalektičke logike

Potpis

_{Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.}

Ama, nema šta da mi se zahvaljuješ. I meni su tvoje konstruktivne (da ne kažem intuicionističke ;-) malo [ale nije na odmet) kritike pomogle da se prisetim nekih stvari, i da neke stvari raščistim. Ovaj forum valjda i služi za to.

Potpis

Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.

Na kojoj teoriji se zasniva savremena matematika? Do pre nekoliko decenija to je bila Kantorova teroija skupova, ali su tu pronalizili neke bagove.