Logika, filozofija

U iskaznom računu se istinitosna vrednost definiše za datu valuaciju (istinitosne vrednosti iskaznih slova) preko istinitosnih tablica. Logičke istine klasične iskazne logike su formule koje imaju istinitosnu vrednost tačno pri svakoj valuaciji. U predikatskom računu je stvar donekle slična, ali složenija.

Formalan dokaz bi glasio ovako: Ako A ima istinitosnu vrednost tačno i A=>B ima istinitosnu vrednost tačno, onda na osnovu istinitosne tablice za implikaciju sledi da i B mora imati istinitosnu vrednost tačno. Ovde se pretpostavlja da radimo u nekoj teoriji baziranoj na klasičnoj logici, gde je prethodno definisana istinitost. Ovaj formalan dokaz je počiva na matematičkoj definiciji pojma "sledi". Kada se u matematici kaže da nešto sledi, misli se na to.

Trenutni profesor logike na Filozofskom fakultetu Kosta Došen mi je jednom prilikom na ulici rekao da su logika i matematička logika sinonimi, i da je to naravno deo matematike.

Ne, to je greška koja se navodi u nekim lošim udžbenicima logike. Ljudskim umom se bavi psihologija. On ima svojih nesavršenstava. Logika se ne bavi zakonima u koje je ljudski um sklon da veruje zbog svoje nesavršenosti.

Skoro sigurno je u potpunosti tačno da je matematička logika daleko najrazvijeniji i najznačajniji deo savremene logike.

To je opšteprihvaćeno gledište na inuicionističku logiku. Međutim, ja se sa tim debelo ne slažem. Na jednom seminaru (doduše posvećenom teoriji skupova, koja nema prevelike veze sa intuicionističkom logikom) sam pričao o intuicionstičkoj logici. Bili su prikazani aksiomatika, Kripkeovi modeli, dokazi teorema saglasnosti i potpunosti aksiomatike u odnosu na modele, algoritmi za utvrđivanje da li je inuicionistička iskazna formula teorema inuicionističke iskazne logike, dokazi korektnosti, kompletnosti i zaustavljivosti tih algoitama i dokazi da neke formule nisu teoreme intuicionističke logike. Međutim, intuicionizam je bio izlagan u potpuno drugačijem duhu od onog koji se može naći u literaturi. Ja nemam nikakve primedbe na teoreme koje se odnose na inuicionizam, kao ni na dokaze tih teorema, već isključivo na njihovo tumačenje. Dakle, nemam niti jednu matematičku primedbu na ono što se piše o toj logici, već samo filozofske primedbe.

Konkretno, ne slažem se sa tvrdnjama poput:

"U inuicionističkoj logici ne važi zakon siključenaj trećeg."
"Skup formula intuicionističke i klasične logike je isti."
"Sve teoreme intuicionističke logike su teoreme klasične logike."
"Postoje teoreme klasične logike koje nisu teoreme intuicionističke logike."
"Intuicionistička logika je pravo suženje klasične logike."

Smatram da su umesto njih tačne sledeće tvrdnje:

"U intuicionističkoj logici važi zakon isključenja trećeg."
"Skup formula intuicionističke logike je širi od skupa formula klasične logike."
"Sve teoreme intuicionističke logike koje su na jeziku klasične logike su teoreme klasične logike. Međutim, jezik intuicionističke logike je širi od jezika klasične logike, pa teoreme intuicionističke logike koje nisu na jeziku klasične logike (a takve postoje) svakako ne mogu biti teoreme klasične logike."
"Sve teoreme klasične logike jesu teoreme intuicionističke logike."
"Intuicionistička logika je pravo proširenje klasične logike."

Osećam da ćete me streljati zbog ovoga.


Upravo tome služi dokaz Pitagorine teoreme. On ne pretpostavlja ništa drugo o trouglu, osim da je pravougli. Upravo je u tome smisao dokaza matematičkih teorema. Svi slučajevi moraju biti obuhvaćeni.

Lično mi nije poznato da u matematici postoji pojam koji se zove broj. Postoje pojmovi koji u svom nazivu sadrže reč broj (realni brojevi, prirodni brojevi itd.), i ti pojmovi su precizno definisani, ali mi u matematici nije poznat pojam čije je "puno ime i prezime" baš "broj". Često se termin broj koristi kao skraćenica za neki od pojmova koji u nazivu sadrže reč broj, kada je iz konteksta jasno na šta se misli.

Nijedan filozof neće reći za filozofiju da je nauka. Filozofija se upravo bavi pitanjima na koje naučni metod nije primenljiv zbog svojih ograničenja. Na ta pitanja ne postoji samo jedan odgovor. Filozofi često uobražavaju da je filozovija nešto iznad nauke. Istina je da je prednost naučnog metoda što je pouzdaniji, a da mu je nedostatak što ima kraći domet. Isto tako je matematički metod pouzdaniji od naučnog, ali ima kraći domet. Preciznija puška manje daleko dobacuje.

Matematika se bavi pronalaženjem zaključivanja koja imaju deduktivnu snagu. Jedna od definicija dedukcije je da je to zaključivnje koje je tačno pri budi bilo kakvim interpretacijama polaynih pojmova. Stoga je sasvim svejedno kako ćeš da zamišljaš, ili interpretiraš polazne matematičke pojmove. Interpretacijama polaznih pojmova su potpuno određene interpretacije izvedenih pojmova.

Mora od nečega da se pođe. Ne možeš se izvući iz živog blata vukući sam sebe za uši.

To će značiti da barem jedan od polaznih matematičkih principa nije bio dobar. U tom slučaju bi se bar jedan od tih principa morao odbaciti ili oslabiti. Nakon toga bi cela matematika morala da se revidira.
Upravo se to desilo i XIX veku sa naivnom teorijom skupova, tada mladom teorijom.

Postoje dve mogućnosti: da kontradikcije nema, ili da su ljudi bili glupi da je do sada nisu uspeli da je pronađu. U prvom slučaju se i ne može izvesti kontradikcija. Međutim, prema Gedelovim teoremama nepotpunosti, u om slučaju mi nemožemo znati da je upravo to slučaj. Sa druge strane, ako kontradikcije ima, onda je moguće saznati da je ima.

Siguran sam da znaš šta mislimo o tome. Ako imaš neke primedbe na taj odgovor, onda je tvoj posao da ih izneseš.

---

To bi bila neprocenjiva šteta .

Umesto toga, evo ja bih te zamolio da npr. malo detaljnije obrazložiš onaj deo o isključenju trećeg - ili da daš neku pristupačnu (ne samo fizički ) referencu...

---

Referencu dajem u prilogu. Nikakve teoreme nisam dokazivao. Sav matematički deo je poznat svakome ko se ozbiljnije bavio intuicionizmom. Tu nemam nikavih ni primedbi, niti inovacija. Ovo nisam nigde video, pa nemam nijednu referencu koju nisam ja pisao.

---

A šta to znači "nefizički pristupačna referenca"?

---

Mislio sam na pristupačnost u smislu potrebnog predznanja.
Nadam se da je ono "nefizički" šala u vezi sa z.i.t.

Najiskrenije se zahvaljujem na onom materijalu, ali sad imamo dve mogućnosti:

1. Ako se držiš definicije intuicionističke logike, onda je smisao formule potpuno promenjen - pa se ona više ni ne može smatrati zakonom isključenja trećeg, jer ona više ne znači: dokazivo je ili je dokazivo , nego sad znači: a u opštem slučaju ne važi .

2. Odlučio si da promeniš definiciju int. logike - onda je sve u redu - napravio si proširenje klasične logike i nikom ništa


_{Da li se neki član "skupa" {K.D., Ž.M., S.P, M.K., Z.M.} usprotivio ovakvom tvom gledištu?}

---

Znam samo šta ti misliš o tome, ali da odradim moj “posao”

Ako na primer ugao od 1⁰ podelimo na beskonačno mnogo delova dobićemo ugao od
0⁰ . Takav ugao postoji i ima dimenziju izraženu u stepenima.
Ako od nekog ugla oduzmemo isti takav ugao dobićemo rezultat 0, međutim, ova nula se suštinski razlikuje od prethodne, jer ovakva nula ne može imati nikakvu dimenziju, jer baš sve što smo imali to smo i oduzeli.
Ovakvu nulu bih ja nazvao “apsolutnom” nulom jer ona znači nepostojanje.
Oduzeti od neke vrednosti istu takvu vrednost znači isto što i ukloniti ili uništiti. Ta vrednost više ne postoji – u konkretnom slučaju ne postoji više ugao.
Moj zaključak je da govoriti o kosinusu takve nule nema smisla jer je to isto što i govoriti o kosinusu nepostojećeg ugla.
Budući da znam šta o tome misli autor gornjeg citata zamolio bih ga da se ovaj put uzdrži, da bi mogli da čujemo i druge.

Nadam se da se ipak nećeš ljutiti ako i ovde napišem svoje mišljenje, mada sam ga napisao i na forumu za fiziku. To i dalje ne sprečava ostale učesnike da i oni iznesu svoja mišljenja.

Uz to, pisanje oznake za stepen ovde samo zbunjuje, jer se meša sa stepenovanjem na nulu. Bolje je stepen pisati rečima.

Pokušaj takvu podelu ugla da opišeš geometrijski, pa da vidimo šta su kraci takvih delova (ili jednog od tih delova). Veruj mi da se trudim da budem krajnje konstruktivan. Ako se koristi zasnivanje realnih brojeva kao kompletnog uređenog polja, i ravni preko realnih bropjeva, u tom polju neće biti beskonačno malih veličina, pa samim tim ni u toj ravni beskonačno bliskih tačaka, krakova itd. U tom slučaju treba da definišeš tu beskonačnu podelu o kojoj govoriš.

Ako pak koristimo neko nearhimedovsko polje kao zasnivanje realnih brojeva, dakle uređeno polje koje uključuje infinitezimale, onda tu zajedno sa beskonačno malim veličinama imamo i beskonačno velike, uključujući i beskonačno velike prirodne brojeve (zovu se nestandardni), koji su u svemu ravnopravni sa konačnim. Svaki ugao se može podeliti na n jednakih delova, za svaki prirodan broj n, koji u ovom slučaju može biti i beskonačan, pa je rezultat delenja podela na beskonačno mnogo beskonačno malih uglova.

U matematici se pod nulom podrazumeva neitralni element za sabiranje, koji je jedinstven. Drugim rečima, nula je u matematici samo to što ti nazivaš "apsolutnom nulom", a beskonačno male veličine su nešto drugo. Nema nikakve potrebe menjati standardnu terminologiju, pa infinitezimale zvati nulama, a amnulu apsolunim nulama, jer se promenom termina u sadržaju ništa ne menja, a sa druge strane se otežava komunikacija. Standardne pojmove treba nazivati standardnim terminima, a za nove pojmove uvoditi nove termine.

Ugao je u matematici oblast u ravni čiju granicu čine dve (zatvorene) poluprave sa zajedničkim temenom. Ako se uglovi mere u stepenima, onda ugao mora imati meru koja je veća od nule, a manja od 360. Ugao od nula stepeni ne postoji. Odgovarajuća prazna oblast se ne smatra uglom. Kosinus kao funkcija na uglovima se definiše kao funkcija koja uglovima pridružuje realne brojeve, pa shodno tome, kosinus ugla od nula stepeni ne postoji, jer takav ugao ne postoji. Sa druge strane, kosinus beskonačno malog ugla postoji, manji je od jedan i beskonačno blizak jedinici. No, o tome se može govoriti samo u svetlosti nearhimedovskih polja.

Sa druge strane, kosinus kao funkcija na realnim (ili kompleksnim) brojevima se definiše kao funkcija koja svakom realnom (ili kompleksnom) broju pridružuje realan (ili kompleksan) broj. Treba je razlikovati od funkcije kosinusa ugla. To su različite funkcije jer im je domen različit. Definicija ovog drugog kosinusa može na primer da bude

Tu je itd.

---

Izvini što ovako kasno odgovaram. Sve do sad nisam video tvoju poruku.

Ne, nisam ja promenio definiciju intuicionističke logike, jer to onda ne bi bila intuicionistička, već neka druga logika. Samo sam izabrao sistem oznaka u kome neće dolaziti do zabune usled označavanja različitih pojmova istim oznakama. Radi se o sledećem: Ako formula oblika u opštem slučaju nije teorema, onda nije oznaka za (klasičnu) implikaciju, već je to sasvim drugi logički veznik. Ne razlikuju se u logici veznici po oznakama, već po zakonima koji za njih važe. Neće neki veznik postati implikacija samo zato što ga je neko označio strelicom udesno. Ja sam samo označio različite logičke veznike različitim simbolima.

Zakon isključenja trećeg nikada nije glasio "dokazivo je A ili je oborivo A". On glasi: "Jeste A ili nije A". U protivnom bi ga bilo nemoguće formulisati u klasičnoj logici. Ipak je on potekao iz klasične logike. Zakon isključenja trećeg glasi: gde je oznaka za (klasičnu) disjunkciju. Ako umesto njega stavim negi drugi logički veznik, onda to više nije zakon isključenja trećeg. Po čemu imam pravo da stavim umesto njega intuicionističku disjunkciju, i da to i dalje zovem zakonom isključenja trećeg, a nemam pravo da stavim, na primer konjunkciju, pa da i formulu zovem "zakonom isključenaj trećeg za konjunkciju", i isto tako za implikaciju, ekvivalčenciju.

Nazivanje zakona "A je dokazivo ili oborivo" zakonom isključenja trećeg je menjanje prvobitnog smisla tog zakona. Ja sam se nasuprot tome držao originalne formulacije tog zakona.

Isto tako "postojanje" i "konstruktibilnost" nisu isti pojmovi, pa ni pomenuti kvantifikatori nisu isti. Zbog čega da ih mešam označavajući ih istim oznakama. Ne vidim niti jednu prednost takvog pristupa. Nasuprot tome, on sakriva sučtinu intuicionističke logike.

Usprotivio se P.J. Ne znam da li je kasnije prihvatio. Prihvatili su S.P. i A.J. Takođe, tekst je upravo na čitanju kod Z.O., ali mi još nije odgovorio. Sa ovima ostalima nisam razgovarao.

A šta je sad pa z.i.t?

---

U onom tvom materijalu sam veznik i shvatio kao potpuno novi veznik, ali sam u mom prethodnom postu taj veznik upotrebio u standarnom intuicionističkom smislu tj. kao implikaciju - ali sam zaboravio da to napomenem - izvini zbog toga.

U intuicionističkoj logici je bitno da imaš konstrukciju kojom dokazuješ neko tvrđenje tako da u strogom smislu ne možemo ni govoriti o z.i.t. (zakonu isključenja trećeg) u izvornom, nego u prilagođenom obliku. Ovi stavovi počivaju na uverenju da u int. logici nema mesta pojmovima: jeste, nije, istina, laž - već pojmovima dokaziv, oboriv. Formalno gledano, možemo da zažmurimo na ovu razliku - ali onda ne možemo istovremeno da pričamo o obe teorije (osim čisto sintaksno).

Ali ti sad pokušavaš da napraviš klasičnu logiku unutar intuicionističke u kojoj je teorema, ali to više nema smisao koji ima u pravoj klasičnoj logici - u protivnom niko nikad ne bi ni tvrdio da u int. logici "ne važi z.i.t.".
Dakle, kao što si i sam napisao - ako nam je kriterijum razlikovanja veznika, skup zakona koji važe za njih - jedina formula koju bi imali pravo da zovemo z.i.t. je a za nju znamo da ne važi.

---

Implikacija je veznik klasične logike. Problem je upravo u onom "u intuicionističkom smislu, tj. kao implikaciju", gde se intuicionistička implikacija, koja nije implikacija, jer ne zadovoljava zakon Hoću da kažem sledeće: jedan veznik je implikacija, a drugi veznik je intuicionistička implikacija. Kada se ne kaže drugačije, implikacija je klasična. U svakom slučaju, ti veznici (koji su različiti) ne smeju da se mešaju.

Zavisi od tvrđenja koje dokazuješ. Bitno je da pronađeš term za koji možeš da dokažeš ako dokazuješ tvrđenje Ukoliko dokazuješ formulu onda ti pronalaženje takvog terma nije bitno. Prva formula odgovara zadatku "Naći x za koje važi P(x)", i tada si po prirodi zadatka obavezan da nažeš takav objekat, i intuicionistička logika te zaista obavezuje na to. Druga formula odgovara zadatku "Dokazato da postoji x za koje je P(x)". Po prirodi zadatka pronalaženje takvog x nije obavezujuće u rešenju, i intuicionistička logika te zaista ne obavezuje na to u dokazivanju one druge formule.

Naprotiv, možemo govoriti o z.i.t., zato što su svi klasični veznici definljivi u intuicionističkoj logici.

Koncepti "istine" i "laži" su samo jedan način gledanja na klasičnu logiku. Oni jesu najjednostavniji i dovoljno dobri kada se govori samo o klasičnoj logici, ali po pravilu nisu dovoljno dobri u proširenjima klasične logike. Bitni su skup formula i skup teorema.

A zašto nemožemo, ako je jedna teorija podteorija druge teorije?

Definljivost klasičnih veznika u intuicionističkoj logici je teorema koju nisam ja dokazao, već drugi mnogo pre nego što sam se ja ispilio. Drugo, ne postoji "klasična logika" u kojoj nije teoema. Dovoljno je bilo da kažeš "praviš klasičnu logiku unutar intuicionističke". Dodatak sa formulom koju si naveo je suvišan. No, nije bitno. Ne sumnjam da to i sam znaš.

Pojam "smisla" nije matematički. Za logike se kaže da su iste ako imaju isti skup formula i isti skup teorema. I klasičnu logiku može uvesti, čak i modelski, bez dvovrednosnih istinitosnih tablica. Možeš preko bulovsko vrednosnih modela, ili preko semantičkih tabloa, ili na ko zna koje druge načine. Niko te ne tera da koristiš baš dvočlanu Bulovu algebru. Međutim, biće reč o istoj logici jer je skup formula isti, i skup teorema isti.

Pa, ja i ne tvrdim da ne važi. Moje uverenje je upravo da važi. Za druge ne odgovaram.

Upravo sam zbog ovoga izbegavao zakon isključenja trećeg i išao na Pirsov zakon. U njemu se pojavljuje samo jedan logički veznik: implikacija. U aksiomatizaciji kasične logike koju sam naveo se zakon isključenja trećeg može zameniti Pirsovim zakonom. Dobiće se ekvivalentna aksiomatizacija. U zakonu isključenja trećeg imamo dva logička veznika: disjunkciju i negaciju. No, sada i ovo moram da obrazložim.

Ako izolovano posmatramo logičke veznike (svaki ponaosob bez ostalih veznika) skup teorema na jeziku svakog od tih veznika pojedinačno je isti. To je prazan skup formula. Ne postoji niti jedna tautologija samo samo na jeziku konjunkcije, niti samo na jeziku disjunkcije, niti postoji intuicionistička teorema samo na jeziku intuicionističke disjunkcije (to jest, da se u njoj pojavljuju samo iskazna slova, zagrade i intuicionistička disjunkcija). Sa te strane se navedeni veznici ne razlikuju. Obrati pažnju da su i konjunkcija i disjunkcija u klasičnoj logici izolovano gledano jedan te istli logički veznik. Oni se razlikuju tek u kombinaciji sa drugim logičkim veznicima.

Zbog toga se takav koncept poređenja proširuje sa veznika na sisteme veznika. Sistem veznika ne odgovara sistemu (disjunkcija,negacija) upravo zbog toga što formula nije teorema. Izolovano gledano, jeste disjunkcija i jeste negacija. Isto tako je izolovano posmatrano i disjunkcija. Da li zbog toga smatraš da je takođe zakon isključenja trećeg? Razmotri ovu svoju primedbu na primeru Pirsovog zakona. Jasnije je, jer imaš samo jedan logički veznik u igri.

---

Pa zato sam i upotrebio oznaku .



Slažem se, ali ovde je od interesa bio z.i.t. a on nije oblika o kome pričaš.



Da je to stvarno tako, ne bi ni bilo razlike između klasične i int. logike - seti se da si i sam više puta rekao da su međusobni odnosi veznika ono što ih određuje. Npr. već pomenutu implikaciju nije moguće definisati u int. logici - i sam si lepo objasnio zašto (ono kako si ti definisao "klasičnu" implikaciju ne mogu da računam iz prethodno pominjanih razloga).



Nisam to ni napisao - već sam napisao to da si ti napravio da to bude teorema u tvojoj "int. logici". I to na osnovu definicije disjunkcije i jeste teorema ali to ne možeš zvati zakonom isključenja trećeg.

Hajde da raščistimo jednu stvar: da li se slažeš da je u int. logici dokazano, samo ako se može dati (u opštem slučaju) konstrukcija iz koje se može zaključiti koja od tih formula je dokaziva i ne samo to već i njen (u opštem slučaju konstruktivan) dokaz. Pogledaj šta si svojevremeno napisao.



Je l' ja sad treba da kažem da ova tvoja rečenica nije teorema?

Uopšte ne razumem zašto pominješ Pirsov zakon kada ni on ne važi (opet naglašavam da tvoju definiciju implikacije ne mogu da prihvatim za klasičnu ili ako više voliš - ono što si ti napravio ne mogu da prihvatim za intuicionističku logiku).

Postoji još čitav niz stavova sa kojima se ne slažem, ali je to sekundarnog značaja

_{Da li nameravaš negde da objaviš ta zapažanja. Voleo bih da nam eventualno preneseš mišljenja recenzenata.}

Na kraju, mislim da shvatam tvoje gledište, ali za sada ne mogu da se složim sa njim.

---

Možda me utisak vara, ali čini mi se da si se u poslednjoj poruci nekako "naoštrio". Ipak se nadam da diskusija teče bez emotivnih naboja. Ranije smo se poštovali, i nadam se da se tu ništa nije promenilo, kao i da će tako ostati ubuduće. Smatram da nema nikakvih razloga da bude drugačije.

Da upotrebio si je, ali uz, za mene neprihvatljiv komentar "u standarnom intuicionističkom smislu tj. kao implikaciju". Koju implikaciju. Ja pod "implikacijom" podrazumevam samo klasičnu implikaciju. Za svaku drugu navodim njeno "puno ime i prezime". Dakle, u toj aksiomatici simbol nije oznaka za implikaciju, već za intuicionističku implikaciju, koja je sasvim drugi logički veznik.

Nekako stičem utisak (mada ne mogu da tvrdim, da ne budem pogrešno shvaćen) kao da čitaš samo moje odgovore, a ne i citate koje navodim uz odgovore. Njih navodim da bih pojasnio na šta se moji odgovori odnose, i smatram da je njihovo čitanje važno za bolje razumevanje tih odgovora. Možda grešim, nemoj da se ljutiš. Ti to znaš najbolje. No, u svakom slučaju, čitaj i citate.

A šta je zakon isključenja trećeg? Kako on glasi? Da li je zakon isključenja trećeg? Da li zakon isključenja trećeg može da glasi Ne mogu da prihvatim kao zakon isključenja trećeg, ako se ne kaže šta znače upotrebljene oznake. Ovde mislim pre svega na simbol Lično smatram da nije bitno koje oznake koristimo, nego sadržaj tvrđenja o kome govorimo. Možda je ipak bolje da se vratimo na Pirsov zakon, pošto u njemu figuriše samo jedan logički veznik (implikacija), a ne dva, kao u zakonu isključenja trećeg (disjunkcija i negacija), pa će priča iz tog razloga biti jednostavnija.

Binarni logički veznik mogu da označim i simbolom ako hoću. No, da li će biti Pirsov zakon nezavisno od toga šta je Da li je Pirsov zakon? Ne može se zamenjivati bilo kojim veznikom, pa da se dobijena formula zove Pirsov zakon. Pirsov zakon je zakon na jeziku implikacije (znači, klasične). Ako stavim neki drugi veznik umesto implikacije, to više neće biti Pirsov zakon.

Teoremu o definljivosti klasičnih veznika u intuicionizmu nisam ja izmislio. To uopšte nije sporno među logičarima koji se bave intuicionizmom, kao ni da u navedenom aksiomatskom sistemu jeste definicija klasične disjunkcije. Intuicionističku disjunkciju nije moguće definisati unutar klasične logike, kao ni intuicionističku implikaciju, kao ni konstruktvnost. To je suštinska razlika između njih. Dakle, razlika postoji.

Jedino mi nije jasno gde sam to tvrdio da se klasična implikacija ne može definisati u intuicionističkoj logici. Ja upravo tvrdim suprotno.

A zašto ne mogu? Ako ti smeta to što je disjunkcija izvedeni, a ne polazni veznik, pa je yakon isključenja trećeg u razvijenom obliku zapisan preko konjunkcije i negacije, umesto toga može se skup polaznih veznika proširiti simbolom a onda dodati sledeće aksiome: i Suština se ne menja. Da li ćeš onda formulu prihvatiti kao zakon isključenja trećeg? Ta formula će svakako biti teorema, a i dalje će sistem obuhvatati koncepte koji nisu definljivi u klasičnoj logici.

Prvo moramo znati šta je označeno simbolom Ako je to konstruktivna disjunkcija, obeležavaću je sa "|". A|B je dokazano ako je bar jedan sastavak dokazan na bar jedan način sredstvima te logike. Recimo, je dokazano ako se dokaže bilo koji od sastavaka Za razliku od i pomenute formule se ne moraju dokazivati konstruktivno. Njihovi indirektni dokazi su takođe obuhvaćeni intuicionističkom logikom.

Vidim, ali ne mislim da to protivreči ovome što ovde pišem. Naprotiv, tamo sam istakao razliku između zadataka tipa "dokazati da postoji objekat takav da ..." i "naći objekat takav da...". To su različite stvari i za njih imamo odvojene kvantifikatore i Oba su obuhvaćena intuicionističkom logikom. Jedan zahteva nalaženje svedoka, a drugi ne.

Pojam "smisao" zaista nije matematički, pa moja rečenica u kojoj se on pojavljuje nije matematički iskaz, pa ne može biti ni teorema. Međutim, kada sam pisao o tome, radilo se o nečemu drugom. U matematičkoj logici postoji potreba za poređenjem logika. Naravno, matematičkim putem, pa se jednakost logika ne može definisati preko "smisla" tih logika ili drugih nematematičkih pojmova.

Pirsov zakon pominjem kao

1. Ravnopravnu zamenu za zakon isključenja trećeg u aksiomatizaciji klasične logike koju sam naveo.
2. Zakon u kome figuriše samo jedan logički veznik (implikacija) umesto dva, kao u zakonu isključenja trećeg (disjunkcija i negacija), pa se izlaganje malo pojednostavljuje.

Za njega mislim da važi u istom smislu u kome važi i zakon isključenja trećeg.

A ja naglašavam da se za sve navedene logičke rezultate znalo pre nego što samse ja rodio. Tu nema mojih definicija. No, svejedno. Ovo znači da se ne slažeš sa onim što je opšteprihvaćeno u logici. No, to nije ništa loše. Kao da sam ja pa nešto bolji.

Na osnovu definicije poređenja logika i veznika, ono jeste aksiomatizacija intuicionističke logike sa sistemom veznika za konjunkciju, za intuicionističku disjunkciju, za negaciju, za intuicionističku implikaciju; operatorima za univerzalnu kvantifikaciju, za konstruktivno postojanje i simbolom za jednakost. Bar tako misle logičari koji su se bavili intuicionizmom. Takođe, zna se i da (klasična) disjunkcija, (klasična) implikacija i kvantifikator (klasičnog) postojanja jesu definljivi u toj logici, kao i da su ono njihove moguće definicije. To nije sporno među logičarima. Evo, šta može biti sporno:

Sami za sebe, simboli uvedeni onim sistemom jesu simboli klasične logike u odgovarajućim značenjima (da ih ne nabrajam). Isto tako, simboli uvedeni onim sistemom jesu simboli intuicionističke logike u odgovarajućim značenjima (da ih ne nabrajam). Međutim, da li se to može tvrditi za oba ta sistema u ukupnosti? Drugim rečima, da li je moguće uvesti neki neekvivalentan sistem (sa simbolima) čija bi restrikcija na simbole bila klasična logika,
a restrikcija na simbole intuicionistička logika.

Odgovor na poslednje pitanuje je pozitivan. Zbog toga se klasična logika ne definiše unutar intuicionističke. Kako izdvojiti jedan privilegovan način potapanja. Na koji način tvrditi da je to potapanje "bolje" od nekog drugog (neekvivalentnog). Nije u svim potapanjima klasične logike u intuicionističku intuicionistički ekvivalentno sa

Ja se ne slažem oko formulacije zakona isključenja trećeg itd. Obzirom na poslednju napomenu, tvoja primedba da zapravo nije jasno šta je zakon isključenja trećeg u intuicionizmu, je sasvim na mestu.

Zahvaljujući tome što se sistem simbola ne razlikuje u klasičnoj i intuicionističkoj logici, a čini bazu klasične logike, to sam koristio za potapanje. Međutim, meni je time garantovana samo klasična ekvivalencija između na primer i Međutim, klasičnu implikaciju nisam mogao da definišem preko klasične ekvivalencije koja se definiše preko klasične implikacije (circulus viciosus).

---

Još samo malo da pojasnim nejedinstvenost obuhvatanja klasične i intuicionističke logike u jednu logiku.

Pretpostavimo da imamo sistem sa logičkim simbolima

Taj sistem reprodukuje klasičnu logiku ako mu je restrikcija na sistem sa simbolima klasična logika u smislu da je formula na tom jeziku teorema tog sistema ako i samo ako je teorema klasične logike. Isto tako, taj sistem reprodukuje intuicionističku logiku ako je njegova restrikcija na sistem sa simbolima intuicionistička logika u smislu da je formula na tom jeziku teorema tog sistema ako i samo ako je teorema intuicionističke logike. Ako taj sistem u tom smislu reprodukuje obe navedene logike, to nam i dalje ne daje nikakve informacije o međusobnom odnosu klasičnih i intuicionističkih simbola.

Dakle, ako hoćemo obe logike da obuhvatimo jednom, onda znamo koje formule na jeziku klasične logike treba da budu teoreme. To su tačno teoreme klasične logike. Isto tako, znamo koje formule na jeziku intuicionističke logike treba da budu teoreme. To su tačno teoreme intuicionističke logike. Međutim, nije jasno koje od formula koje uključuju i klasične i intuicionističke simbole treba da budu teoreme. Na tom skupu formula se pojavljuje nejedinstvenost.

U principu tada između klasičnih i intuicionističkih simbola ne moraju da postoje nikakve međusobne veze. Tada klasična logika neće biti interpretirna unutar intuicionističke. Međutim, čak i ako se ograničimo na definisanje klasičnih simbola preko intuicionističkih, moći ćemo to da uradimo na više neekvivalentnih načina.

---

Po adicionoj teoremi: cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β. Nigde ne stoji da ova teorema ne važi ako je α = β t.j. nigde nema zabrane da se takvi uglovi ne mogu oduzimati.
Ova teorema se bez sumnje odnosi na kosinus kao funkciju uglova.
Tvrdnja da se jednaki uglovi ne mogu oduzimati je besmislena, ali se radi o prirodi rezultata tog oduzimanja. Taj rezultat je takav da mu se ne može pridružiti nikakva vrednost funkcije jer u tom slučaju ne postoji argument koji ima dimenziju ugla.

Izaberi bilo koji ugao A u ravni. Šta ti je to A-A? Ako taj pojam nije definisan, kako onda možeš govoriti o cos(A-A)? Još bolje, ako su A i B nekekvi uglovi u ravni u opštem položaju, koji ne moraju imati niti jedan zajednički krak, šta je onda A+B ili A-B.

Navedena formula važi bez ikakvih ograničenja za funkciju cos definisanu na skupu realnih (ili kompleksnih) brojeva. Možda je bolje da sa cos_r označim kosinusnu funkciju definisanu na skupu realnih brojeva, sa cos_k kosinusnu funkciju definisanu na skupu kompleksnih brojeva, a sa cos_u kosinusnu funkciju definisanu na skupu uglova u ravni, i slično za sinusne funkcije.

Bez ikakvih ograničenja važi

sin_r(a+b)=sin_r(a)cos_r(b)+cos_r(a)sin_r(b),
sin_r(a-b)=sin_r(a)cos_r(b)-cos_r(a)sin_r(b),
cos_r(a+b)=cos_r(a)cos_r(b)-sin_r(a)sin_r(b),
cos_r(a-b)=cos_r(a)cos_r(b)+sin_r(a)sin_r(b),

dakle za sve realne vrednosti a i b. Slično tome, bez ikakvih ograničenja važi

sin_k(a+b)=sin_k(a)cos_k(b)+cos_k(a)sin_k(b),
sin_k(a-b)=sin_k(a)cos_k(b)-cos_k(a)sin_k(b),
cos_k(a+b)=cos_k(a)cos_k(b)-sin_k(a)sin_k(b),
cos_k(a-b)=cos_k(a)cos_k(b)+sin_k(a)sin_k(b),

dakle za sve kompleksne vrednosti a i b. Na uglovima u ravni se takođe definiše funkcija mere, koju ću označiti sa m, koja svakom uglu A pridružuje pozitivan realan broj m(A), pri čemu u slučaju da je zbir uglova A i B definisan, mora da važi m(A+B)=m(A)+m(B) i pri čemu podudarni uglovi moraju imati istu meru. Takva funkcija je određena jednoznačno do na multiplikativnu konstantu. Ako je mera takva da je mera pravog ugla pi/2, onda za ma koji ugao A važe formule

sin_u(A)=sin_r(m(A)),
cos_u(A)=cos_r(m(A)).

Dakle, bez ikakvih ograničenja važe formule

sin_r(m(A)+m(B))=sin_u(A)cos_u(B)+cos_u(A)sin_u(B),
sin_r(m(A)-m(B))=sin_u(A)cos_u(B)-cos_u(A)sin_u(B),
cos_r(m(A)+m(B))=cos_u(A)cos_u(B)-sin_u(A)sin_u(B),
cos_r(m(A)-m(B))=cos_u(A)cos_u(B)+sin_u(A)sin_u(B),

Često se umesto m(A) piše samo A, i svaka kosinusna funkcija obeležava sa cos, kada nema opasnosti od zabune, ali se uvek mora znati na šta se misli.

Ako je u ravni izabran koordinatni koordinatni sistem i razmatraju se samo uglovi kod kojih je jedan krak pozitivan deo x-ose, onda ma koja druga poluprava (znači, ne ta ista) sa temenom u koordinatnom početku određuje tačno dva ugla. Ako se ograničimo samo na one kod kojih je smer od pozitivnog dela x-ose kao kraka ka drugoj osi pozitivan, onda svaka druga poluprava (znači, ne ta ista) sa koordinatnim početkom određuje tačno jedan ugao. Ti uglovi će se meriti realnim brojevima iz otvorenog intervala od 0 do 2pi. Ovakav pojam ugla se može uopštiti tako da svaki realan broj bude mera tačno jednog ugla. No, to neće biti ugao u standardnom geometrijskom smislu, već uređen par čija je prva komponenta poluprava sa temenom u koordinatnom početku, a druga komponenta ceo broj.

Dakle, to nije ugao iz geometrije, već sasvim drugi pojam, koji je na neki način povezan sa pojmovima realnog broja i pojmom (geometrisjkog) ugla. Svakom (geometrijskom) uglu odgovara tačno jedan ovakav, pri čemu geometrijskim uglovima odgovaraju uređeni parovi čija je prva komponenta poluprava sa temenom u koordinatnom početku različita od pozitivnog dela x-ose, a druga nula. Na ovakvim uglovima se mogu definisati trigonometrijske funkcije, kojima odgovaraju realne trigonometrijske funkcije. Uglovne trigonometrijske funkcije odgovaraju samo restrikcijama ovih, kao što odgovaraju restrikcijama realnih na interval (0,2pi).

Ovakvi uopšteni uglovi se uvek mogu sabirati i oduzimati, a geometrijski uglovi ne. Nije nikakva greška uopštene uglove shvatiti baš kao realne brojeve, a ne parove (poluprava sa centrom u koordinatnom početku, ceo broj), jer postoji prirodna bijekcija između njih (to je upravo funkcija mere uopštenih uglova). Zato nije ni čudo što se mogu uvek sabirati i oduzimati, baš kao realni brojevi. No, geometrijski uglovi su nešto drugo.

U matematici se izomorfne strukture po pravilu identifikuju. Zato se niko i ne bavi ovim "uopštenim uglovima", jer je ta struktura izomorfna aditivnoj grupi realnih brojeva. Znači, oni su praktično isto što i realni brojevi.

---

@Nedeljko:

_{Nadam se da mi nećeš zameriti što malo kasnim sa odgovorom, ali to je bio jedini način da "udahnem duboko i izbrojim do deset".
Pošto sam duboko uveren da ovakve rasprave smatraš zabavnim, nemoj se ljutiti ako se i ja malo zabavim u ovom postu.}

Ni jednog trenutka nisam imao (niti ću imati) nameru da te uvredim. Naravno, taj moj trud ne može nikako biti garancija da te nešto od onoga što budem napisao neće emotivno povrediti, pa se zato unapred (dazanu i) iskreno izvinjavam.

Sasvim je moguće da mi je na nekim mestima ton bio preoštar, ali "sintaksno" gledano mislim da sam ostao u granicama pristojnosti (a ako je verovati nekim logičarima iz "sintakse" se da sve videti).

U nekima od prethodnih rečenica sam ispustio tonifikator za sarkazam .



Potpuno te razumem, i ja sam se tako osećao dok sam emotivno prilazio ovoj raspravi.



Eh, da si to na vreme rekao svega ovoga ne bi ni bilo.

Toliko si razudio "front" da bih mogao da te citiram do sutra (sve "čestitke" onome ko je napravio sistem za citiranje na ES-u zaista deluje odbijajuće) - ali iz zdravstvenih razloga odustajem od toga (do daljnjeg).

Manimo se zato "ćorava posla" i pogledajmo sledeći primer.

Neka su date aksiome:

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

i pravila izvođenja:

,
,
.

Time je određena klasična logika (predikatska sa jednakošću).
Ako uklonimo onu nesrećnu aksiomu, dobijamo tvoju intuicionstičku logiku.
Ako prihvatimo sve tvoje naknadne definicije (napominjem po ko zna koji put - sintaksno - nemam ništa protiv njih), dobijamo da je klasična logika prava restrikcija sebe same... a znaš gde to vodi.

_{[Ovu poruku je menjao uranium dana 01.04.2006. u 04:00 GMT+1]}

---

Naravno.

Ma ne, nisam mislio da si hteo da mene, ili bilo koga drugog povrediš, niti si me na bilo koji način povredio. Samo sam se bojao da sa previše emocija ulaziš u raspravu. No, sve je u redu.

Što se tiče razloga zašto se klasična logika ne definiše unutar intuicionsitičke, to su moji zaključci do kojih sam došao naknadno, kroz diskusiju sa tobom. Izgleda da je ova rsprava bila plodna.

Ne znam kuda to vodi. Mogao bi to malo da pojasniš. Mnoge strukture imaju izomorfne prave podstrukture, pa šta. Nego, treba razlikovati podračun (to jest račun koji je na istom jeziku, ali ima uži skup teorema, recimo koji se dobija izbacivanjem nekih aksioma) od restrikcije tog računa (to jest računa koji se dobija sužavanjem jezika). Te stvari nisu iste.

Veliki pozdrav.

---

U klasičnoj logici je isto što i (ovde je veznik određen kako si ga (standardno) i definisao), pa dobijamo da ipak važi i u tvojoj "intuicionističkoj" logici



Hvala na ovom upozorenju (nisam u toku sa standardnom terminologijom, ali očigledno je da si razumeo šta sam hteo da kažem).

Veliki pozdrav i tebi

---

Aksiomatski sistem koji si zapisao jeste klasična logika, i tamo jeste teorema. Ali tu nema ni "i" od intuicionizma. Kada se izbaci aksioma 13, (prelazimo na podračun) onda se dobija intuicionistička logika u kojoj nije teorema. I dalje ne razumem šta je sporno.

Recimo da dodamo još i ove aksiome:








Sa aksiomom 13 imamo klasičnu logiku gde imamo duple oznake za neka značenja. Ukoliko uklonimo aksiomu 13, dobijamo intuicionističku logiku u kojoj te stvari nisu ekvivalentne. Klasična logika će biti restrikcija tog sistema. jeste teorema, a nije.

Drugo, to nije moja "intuicionistička", već intuicionistička logika (u varijanti koju sam priložio u pdf fajlu u prvoj poruci), barem po standarnim kriterijumima poređenaj logika. Druga je stvar što ja imam pravo da definišem nove simbole preko polaznih. Na to imam pravo u bilo kom sistemu.

---

Slažem se. Ja ni ne tvrdim da se koristeći samo takav sistem (bez 13. aksiome) može izvesti .
Sada definišemo veznik , pa pokažemo da je teorema. To je teorema i u nadračunu, šta više, uopšte se ne razlikuje od aksiome . Time smo pokazali dupliranost oznaka za disjunkciju, pa iako se formalno ne može izvesti u int. logici, mogli bi reći da i tamo važi (priznajem da to ne bi imalo nikakvo "sintaksno" opravdanje).


Verujem da je uz pomoć nadstrukture pokazano da (držeći se uvedene definicije za disjunkciju) teorema nije zakon isključenja trećeg, jer u protivnom dolazimo do neprijatne situacije, budući da je ono suženje izomorfno nadračunu čije sam aksiome naveo. Kad kažem neprijatna situacija, mislim na sledeće: u int. logici nije izvedivo , ali jeste , a te dve teoreme klasične logike su izomorfne slike jedna druge. I kako na kraju reći: "U int. logici je izvediv zakon isključenja trećeg." ili "U int. logici nije izvediv zakon isključenja trećeg."
Mislim da bi posle ovoga, zakon isključenja trećeg bio ubijen (pod uslovom da se slepo držimo samo "sintakse" - s čime se trenutno ne slažem).

Sad me baš zanima šta bi se desilo, ako bi nastavili da generišemo nove int. logike u oba smera (u jednom kao raširenje one klasične, a u drugom kao podračun onog suženja); a onda nove klasične u oba smera (u jednom kao nadračun prethodno definisanog int. raširenja, a u drugom kao suženje prethodno definisanog int. podračuna) i tako ad infinitum.

<sub>Kao što verovatno primećuješ, kada zanemarim semantiku - prinuđen sam da se složim sa dobrim delom tvojih stavova.

[Ovu poruku je menjao uranium dana 01.04.2006. u 23:20 GMT+1]</sub>

---