OK, pogrešio sam u prethodnoj poruci. Da se popravim.
Sistem K' jeste tačno klasična logika na jeziku
. Ne vidim u tome nikakav problem. Zbog čega ne bi bila?
Sistem K takođe jeste tačno klasična na istom jeziku. K i K' su izomorfni. Imaju izomorfne jezike.
Sistem I jeste intuicionistička logika na izomorfnom jeziku.
Možemo reći da su jezici isti. Recimo da je taj jezik
To upravo znači i da je skup formula isti.
Vratimo se sada na tvoje pitanje
Citat:
uranium: onda je lako videti da je svaka teorema intuicionističke logike, teorema i klasične logike, kao i obrnuto, svaka teorema klasične logike je teorema intuicionističke logike (zbog izomorfnosti
i
).
I šta je to sad? :)
Kada potapaš sistem K' u sistem I, ti nećeš svaki polazni logički simbol domena slikati u sebe, već u veznik koji je definljiv u logici koja je kodomen. Time se neće svaka formula domena preslikati u sebe. Recimo, formula
slikaće se u formulu
To jeste potapanje, jer se svaak teorema doemna slika u teoremu kodomena. Kada potapaš sistem I u sistem K, ti svaki polazni simbol slikaš u sebe samog, pa se samim tim i svaka formula domena slika u samu sebe. I to je potapanje, jer se svaka teorema domena slika u teoremu kodomena. Sistemi K i K' će biti u potpunosti isti, ali će sistem I imati uži skup teorema (Nemoj ovde da brzaš, pročitaj tekst do kraja, Vreba jedna "optička varka".). Dakle, neće klasična i intuicionistička logika biti iste.
Seti se samo da se svaki od intervala [0,1), (0,1] može utopiti u onaj drugi, ali da oni nikako nisu izomorfni. Ne kažem da si tvrdio suprotno, niti da to ne znaš, već samo napominjem da to treba stalno imati u vidu.
Međutim, isti simbol će u različitim sistemima označavati različite veznike. Zato je bolje da kažemo da sistem I ima jezik
da ne bi bilo opasnosti od "optičke varke" da je u sistemu I formula
formulacija zakona isključenja trećeg. sistem K se tada utapa u sistem I, mi ćemo u principu polazne simbole iz domena slikati u izvedene simbole kodomena, pa će se formula
slikati u formulu
Sa druge strane, pri potapanju sistema I u sistem K ćemo polazne simbole domena slikati u polazne simbole kodomena. Na primer,
u
Kada se eliminiše "optička varka", onda više skup teorema sistema I nije inkluzijski uporediv sa skupom teorema sistema K. No, i ovde imamo jednu "optičku varku". Nismo uračunali simbole koji mogu biti definisani preko polaznih.
Pretpostavimo da je K'' sistem dobijen proširivanjem sistema K novim sibolima definisanim preko polaznih. Ukoliko upotrebimo barem jedan intuicionistički simbol u tom proširenju, onda zahtevamo da sistem K'' i sistem I na preseku njihovih skupova formula imaju isti skup teorema. Drugim rečima, ne dopuštamo upotrebu istog simbola u različitim značenjima. Tada možeš formirati sistem I' proširivanjem sistema I svim sibolima sistema K'' koji nisu simboli sistema I, definisanim preko polaznih simbola sistema I, tako da skup teorema sistema I' i K'' na skupu formula sistema K'' bude isti, i da skup teorema sistema K'' bude pravi podskup skupa teorema sistema I'. U obrnutom smeru se to ne može uraditi. To je zato što se svi klasični simboli mogu definisati unutar intuicionističke logike, ali se svi intuicionistički ne mogu definisati u okviru klasične logike.
Kada definišemo u sistemu I nove simbole preko polaznih, dobićemo sistem čiji je skup teorema pravi nadskup skupa teorema
Nije bitno koji su zaključci izvučeni, već kako se do njih došlo.
Re: Logika, filozofija
se ne razlikuje od para veznika 
u nadračunu, ali se razlikuje u podračunu upravo zato što 
nije teorema. To možeš uporediti sa teorijom pramenova euklidske i apsolutne geometrije. Za paraboličke i hiperboličke pramenove važe iste teoreme u euklidskoj geometriji, ali ne važe iste teoreme u apsoltnoj geometriji. Šta je tu sporno ili neobično?
jesu isti (i sintaksno i semantički) u nadračunu, odnosno različiti u podračunu. Razne formule koje su ekvivalentne u ZFC, ne moraju biti ekvialentne u ZF, pa se pri izbacivanju aksiome izbora mnogi pojmovi cepaju na više podpojmova. Sve je to krajnje uobičajeno u matematici. Uopšte ne razumem poentu tvoje priče.
).