Verujem da ti je jasno zašto je
, pogledajmo zašto mora da bude i
.
Za svaki slučaj napisaću i definiciju
Maklorenovog polinoma stepena
za neku datu
puta diferencijabilnu f-ju
:
, pri čemu je
-ti izvod f-je
obeležen sa
(po definiciji se uzima da je
).
Greška (kaže se i ostatak) aproksimacije f-je
Maklorenovim polinomom
-tog stepena u tački
je
, za neko
. (naravno f-ja mora da bude
puta diferencijabilna)
Lako je proveriti da je za
, otuda imamo da je
za neko pogodno odabrano
Dakle, za svako
postoji
, tako da je
E sad nama je u interesu da ona greška aproksimacije teži nuli kad
teži beskonačnosti, međutim ispostavilo se da to nije moguće za svako
.
Sad bi bio zgodan trenutak da se prisetimo da
pod uslovom da je
.
Pošto je
dovoljno je da ispitamo kada je
.
(u proceni je upotrebljena nejednakost
)
Znači, za
ostatak teži nuli.
A ako je
, onda opšti član reda ne teži nuli (to je na osnovu primedbe
) pa je red divergentan.
Slučaj kada je
se jednostavno proverava (ostatak teži nuli).
Nadam se da je ovim otklonjena svaka sumnja u vezi sa intervalom - ostaje još samo da se neko smiluje pa da ti prekuca sam dokaz
Tejlorove teoreme - mene u ovom momentu nešto mrzi - jer sam siguran da ga možeš naći u svakom standardnom udžbeniku iz
Analize 1 (ima i dosta besplatnih e-knjiga na netu u kojima se to može naći). Ako se baš nikako ne snađeš - javi pa ću ti prekucati ceo dokaz.
Inače, rešenje koje ti je odmah dao
Farenhajt je potpuno korektno. Naime postoji teorema koja kaže da ako je npr. red
kovergentan u nekom radijusu konvergencije
, onda se unutar tog radijusa konvergencije može diferencirati član po član tj.
a dobijeni red imaće isti radijus konvergencije
.
Treba samo primetiti da je u datom slučaju
pa je
(jer je
).
Dokaz te teoreme počiva ne nekim drugim jednostavnim stavovima, ali je stvarno glomazno da ti sad kucam sve neophodne definicije i leme.
Takođe moguće je uz pomoć jedne druge teoreme pokazati da jednakost važi i za
.
Za slučaj da ti nije jasan ni formalni deo
Farenhajtovog rešenja, da prepričam: uzimamo da je
, ispostavi se da je
, zapitamo se kakvo mora biti
da bi imalo takav izvod, preko integrala dobijemo odgovor:
a pošto iz definicione jednakosti sledi da je
, onda mora biti i
.
Na kraju, imam samo jednu molbu, da ako se desi (a već se dešavalo) da ti je neki korak sumnjiv da precizno ukažeš o čemu se radi - potpuno mi je jasno da ti već imaš neka očekivanja kako bi dokaz morao da izgleda (u smislu da ispuni neke standarde) i onda u "žaru matematičke borbe" lako zaboraviš da je neko možda uložio dosta svog slobodnog vremena u pokušaju da ti pomogne - pa ako se i desi da je pogrešio ili da ti je neki detalj sumnjiv, treba na to vrlo precizno i pažljivo skrenuti pažnju.
Edit: Umesto ostatka u
Lagranžovom obliku koji je prvobitno bio napisan, sada stoji ostatak u
Košijevom obliku - sve to u cilju "krpljenja" rupe u jednom delu dokaza.
[Ovu poruku je menjao uranium dana 24.02.2006. u 15:28 GMT+1]
Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.
Tejlorov red-zadatak
Registrovani: 8 ( SlobaBgd, bojanum, savkic, vjova, mstevica, presa, udarautobusa, popusicko )
), ali pošto se ono 
