Pre svega, jednačina
ima rešenja:
npr:
Ako je
rešenje i ako je
, onda je
.
Dokaz:
Neka je
, onda sledi:
.
Posmatrajmo sada čemu su jednaki stepeni dvojke, odnosno trojke po modulu 35.
i slično
.
Primetimo da su redovi i broja 2 i broja 3 po modulu 35 jednaki 12, tj. prvi pozitivan broj
za koji važi
je 12 i isto za broj 3.
E sad da bi važilo
brojevi
i
moraju biti uzajamno inverzni po modulu 35, a odatle je lako videti, na osnovu f-ja
i
, da su jedine mogućnosti
gde je
(Mogli su se sa manje računa razmatrati odvojeno ostaci pri deljenju sa 5 i odvojeno ostaci pri deljenju sa 7)
U svakom slučaju dobili smo da je
. Dakle,
i
su makar 2, ali ne više od toga jer:
ako pogledamo čitavu polaznu jednačinu po modulu 3 vidimo da
mora biti neparno, pa ako bi, recimo bilo
, onda bi dobili (posmatrajući celu jednačinu po modulu
) da je
a ispitivanjem stepenova broja 5 i broja 7 po modulu 8, dobija se da mora biti
i
, što je očigledno nemoguće, jer je
neparno. Dakle,
.
Pošto su
i
kongruentni po modulu 12, sledi
, tj. postoji
za koje važi
, tako da polazna jednačina postaje
. Pretpostavimo da je
. Sada, analizom faktora na levoj strani po modulu 7, dobijamo da je
i
, jer je
. Analizom istih faktora po modulu 5, dobijamo da je, u zavisnosti od parnosti broja
,
tačno jedan od njih deljiv sa 5. Odatle lako sledi da
mora biti parno (jer u protivnom broj
ne bi bio deljiv ni sa 5 ni sa 7).Dakle, možemo zaključiti da važi
, onda, analizom po modulu 9 (jer je po pretpostavci
), sledi da je
(red broja 5 po modulu 9 je 6), a analizom iste jednačine po modulu 7, dobijamo da mora biti
(red broja 5 po modulu 7 je 6). Dakle, dobili smo kontradikciju, pa je
a time i
.
Polazna jednačina sada postaje
a odatle sledi tvrđenje.
Razmotrimo sada slučaj, kada je
, (jer jasno je da
)
Neka je
i
, onda analizom jednačine
po modulu 5 (kao i u ranijim slučajevima), dobijamo da važi
, pa zatim analizom iste jednačine ali po modulu
dobijamo da mora biti
i
(dakle, redovi brojeva 5 i 7 po modulu 16 su 4 i 2), a to ne može biti, jer
mora biti neparno. Dakle, ne može biti
i
.
Neka je
i
, onda analizom jednačine
po modulu 5 (kao i u ranijim slučajevima), dobijamo da važi
, pa zatim analizom iste jednačine ali po modulu
dobijamo da je
, pa na osnovu pretpostavki
, sada je jasno (analizom jednačine
po modulu 5), da mora biti
, odatle, nalazimo rešenje
. Ako bi bilo
onda bi analizom j-ne
po modulu 5, na uobičajen način dobili prvo
, a odatle i
. Sada,budući da je
, dobijamo j-nu
, odatle, kako je
, dobijamo da je
, odatle sledi
, (jer je red broja 3 po modulu 31 jednak 30), pa dobijamo da je
što je u suprotnosti sa
. Kontradikcija.
Dakle, jedino rešenje je
.
Neka je
i
, onda analizom jednačine
po modulu 6 dobijamo da ona nema rešenja.
Ako su neka 2 od
jednaka 0. Slučaj
je nemoguć kao i slučaj
, pa ostaje da razmotrimo
.
U slučaju
dobijamo da je
, pa dobijamo jedinstveno rešenje
, jer se proverom jednačine
po modulu
dobija da j-na nema rešenja, pa sledi
, tj.
.
U slučajevima
i
, nema rešenja, jer je razlika 2 neparna broja, paran broj.
I preostali slučaj je nemoguć, što je lako videti analizom j-ne po modulu 3.
U slučaju da je samo jedan od eksponenata različit od 0, onda lako dobijamo da je jedino rešenje:
.
Time su (nadam se) pronađena sva rešenja.
Valjda će se neko potruditi da ovo malo uprosti (meni je muka od ovog zadatka)
[Ovu poruku je menjao uranium dana 04.07.2005. u 00:58 GMT+1]
[Ovu poruku je menjao uranium dana 04.07.2005. u 01:00 GMT+1]
Attempt all the problems. Those you can do, don't do. Do the ones you cannot.
[Zadatak]: Eksponencijalna Diofantova jednačina sa 4 nepoznate
Registrovani: 10 ( SlobaBgd, bojanum, savkic, vjova, mstevica, presa, udarautobusa, fangorn, valjan, popusicko )
